Bases Numéricas (parte I)

Alejandro R. Garciadiego
Lic. Matemáticas, UNAM, 1977 PhD. Historia de las Matemáticas, U of Toronto, 1983 gardan@unam.mx
Resumen

En este ensayo —dirigido al público general, pero en particular a los docentes de educación básica— se propone introducir el concepto de base numérica sin recurrir a definiciones formales, ni tecnicismos, ni simbología abstracta; para, más adelante, proporcionar algunos ejemplos de problemas y ejercicios. El enfoque es el opuesto: a partir de la descripción y manipuleo de situaciones de la realidad cotidiana, se infiere una definición intuitiva; y, aún más importante, no se sacrifica la evolución conceptual de la materia en aras de su sobre simplificación pedagógica.

Palabras Clave: Matemáticas, historia, enseñanza, aprendizaje, base numérica, operaciones aritméticas básicas
Msc: 00A06, 00A35, 97C80
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¿Qué es una base numérica?

– ¿Te puedo hacer una pregunta?

– Depende. ¿Qué se te ofrece? Ya sabes que yo no doy clases de matemáticas y a lo mejor no sé qué responder.

– Por lo mismo, yo creo que tus conocimientos de historia son los que ahora necesito. Estaba en clase con mis alumnos y trataba de mostrar cuál es la base numérica más natural, cuando …

– Espérate, ya me perdiste. ¿Qué es eso de una base numérica?

– Bueno, una definición precisa diría que es el número de unidades de cierto orden necesarias para formar una unidad de orden inmediatamente superior.

– Perdón, pero no entendí lo más mínimo. ¿Tiene que ver con las tablas de multiplicar? Es de lo poco que me acuerdo de aritmética.

– No, no precisamente. Las tablas de multiplicar son parte de un sistema numérico, del que también la base es parte, pero hay otros elementos que intervienen en su composición. En particular, una base es …

– Pero, espérate, antes de que me confundas más. ¿Existen otros sistemas numéricos? ¿Qué no únicamente existen las tablas que usamos todos los días? Cuando iba en la escuela primaria (y no quiero que te burles al decir que ya llovió, y mucho) nosotros únicamente estudiábamos las tablas de multiplicar del uno al nueve. Es obvio, que la del cero no era necesario memorizarla, puesto que cualquier número multiplicado por cero es cero.

– Pues no, si existen otros sistemas numéricos, otras tablas y otras bases, y en la práctica, todos los días, tú usas uno diferente al sistema base diez.

– ¿En serio? ¿Cuál? Tendría que ser muy lista como para saber otras tablas de multiplicar.

– Este sistema lo has practicado tanto, y desde tan pequeña, que no te das cuenta de ello. Es más, si te preguntara que cuándo lo aprendiste me tendrías decir que no estás segura.

– Honestamente no sabría cuál podría ser.

– ¿Cuándo aprendiste a usar un reloj?

– Bueno, el primero que tuve me lo regalaron mis papás cuando entré a tercer año de primaria. Me acuerdo que era automático y que se podía meter al agua. Así no me lo tenía que quitar y el riesgo de perderlo era mucho menor.

– ¿Te acuerdas si era de manecillas?

– Sí, sí era; y la imagen que estaba en el centro era la de una bailarina: el fondo era rosa, y las manecillas eran sus brazos. Uno de estos tenía un paraguas y eso hacía que esa pieza fuera más larga. Ya sabes lo que eso significa: la corta indicaba las horas y la larga los minutos.

– Es claro que con la práctica aprendiste a usar el reloj. Con el primero, los niños están tan emocionados que a cada rato voltean a verlo; no porque estén preocupados por el transcurso del tiempo, sino más bien porque quieren admirar su tesoro. Pero, también es un hecho que, aunque muchos no poseen un reloj, se les enseña a leerlo siendo aún muy pequeños. Me acuerdo que en los libros de texto gratuitos venían unos dibujos que representaban relojes y tú tenías que dibujar las manecillas con las horas que se te indicaban; o, si la imagen ya las tenía, entonces tú tenías que poner, con letra, el tiempo que se señalaba.

– Ahora, supongo, lo veríamos como un ejercicio muy simple. Pero, en aquellos días se nos dificultaba, ya que la misma hora podía ser enunciada de distintas maneras. Por ejemplo, es lo mismo decir: las seis de la tarde con cuarenta y cinco minutos; o, quince minutos antes de las siete; o cuarto para las siete; o, dieciocho horas con cuarenta y cinco minutos. ¡Claro que se nos hacía difícil! Había cosas que nunca nos explicaban, sino que las presentaban como hechos indiscutibles. Por ejemplo, lo más básico, ¿por qué el día debía tener veinticuatro horas?

– Bueno, con decirte que ni siquiera era claro que realmente tuviera dichas horas, ya que la mayoría de los relojes únicamente indican doce. Por lo general, en una conversación rutinaria, uno no requiere distinguir entre el día y la noche. Con decir, ‘son las seis’ es suficiente. Pero la pregunta que hiciste con relación a la duración del día nos puede llevar de regreso al tema que me preocupa. Para los adultos es claro, aunque algunos no se acuerden de la explicación técnica, que un día tiene veinticuatro horas, ya que ese es el lapso de tiempo que le toma a la Tierra dar una vuelta completa sobre su propio eje. Así, se puede medir en días el número de veces que se suceden dichos giros. Pero, es claro que la Tierra ha girado muchísimas veces en torno a sí misma. En nuestro sistema, a los días se siguen las semanas; a éstas los meses; a éstos los años; y, así, en adelante. Aquí, lo importante, es ver cómo, para simplificarnos el proceso de contar, introducimos ‘unidades superiores’. Este es el principio esencial de una base: la creación de unidades superiores. Pero, lo importante es que cada vez que pasamos a una unidad superior, la expresión del nuevo número es más sencilla. Por ejemplo, en lugar de decir quince días, dices dos semanas. De la misma manera, cien años se convierten en un siglo. ¿Te imaginas que en lugar de decir que tengo treinta y ocho años, tuviera yo que mencionar que tengo diecinueve millones novecientos setenta y dos mil ochocientos segundos? Si no simplificáramos las cantidades tendríamos que calcular nuestras edades cada vez que alguien nos la preguntara. Con nuestro sistema tradicional de usar años, al cálculo que conocemos, y que muchos quisiéramos olvidar, es suficiente con añadirle una unidad. Así, después de transcurridos trescientos sesenta y cinco días que equivalen a quinientos veinticinco mil seiscientos segundos, es suficiente con añadirle un ‘uno’ a la cantidad que hemos conocido durante todo un año. ¡Suena inverosímil! Así, para simplificar los cálculos, se ha creado una jerarquía que viene de más abajo. Así, la unidad superior del segundo sería el minuto, la unidad siguiente sería la hora y, la subsecuente sería el día.

Para simplificarnos el proceso de contar, introducimos ‘unidades superiores’.
Este es el principio esencial de una base:
la creación de unidades superiores.

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– Medir la edad de un ser humano requiere de transformar unidades, pues cuando éstos son muy pequeños sus edades se pueden medir primero por días, después por semanas, más tarde, por meses; y, finalmente, por años. Pero, aquí lo importante es notar que existen muchas maneras diferentes de crear esas unidades superiores. No necesariamente tenemos que ir de diez en diez. Por ejemplo, ya señalamos que la unidad superior del segundo es el minuto. Pero, un minuto se forma con sesenta segundos, no con diez. Cuando se trata de segundos vamos de sesenta en sesenta. Cada vez que llegamos a sesenta, pasamos a la unidad superior que, en este caso, serían los minutos, y decimos un minuto. Los minutos, como ya dije, también los contamos de sesenta en sesenta, y, así, pasamos a las horas; pero éstas las contamos en períodos de veinticuatro unidades, y enseguida pasamos a la unidad superior, que en este caso sería el día.

– Aquí, tendría que advertirte que los fabricantes de hornos de microondas confunden el sistema. ¿Te has fijado que cuando le introduces a la máquina la cantidad de cien segundos, ésta la interpreta como si le hubieras indicado un minuto? Si tu apretaras cien segundos, la máquina lo debería interpretar como un minuto y cuarenta segundos; pero no es así, pues, cuando empieza a funcionar y a retroceder el tiempo, brinca de 1:00 a 59 segundos. Pero, si introduces ochenta, entonces, al iniciar el funcionamiento, pasa de ochenta a setenta y nueve, como si estuviera en base diez. Para un lado no reconoce el sistema base sesenta, pero para el otro lado si lo hace. Pero confusiones como esta las hay todo el tiempo. Por ejemplo, cuando los reporteros norteamericanos hablan de billones, ellos se refieren a miles de millones (1,000,000,000). En este sistema cuando se habla de billones se entienden millones de millones (1,000,000,000,000). También en otras culturas confunden los usos de las comas y puntos cuando se trata de cantidades.

– Empiezo a entender a qué te refieres. Dentro del medio laboral, hay quienes acostumbran pagarles a sus empleados por día (y ésta sería su unidad), otros por semana, otros por quincena, otros por mes y, aún otros, por año. Cada una de estas unidades tiene sus ventajas y sus desventajas; y, por supuesto, cada quien quiere sacar provecho.

Por cierto, el otro día hubo elección de representante de profesor ante la mesa directiva de los padres de familia de la escuela. Se realizó el proceso y hubo dos candidatos, de tal manera que el resto de los profesores podía votar por uno de ellos, o por el otro, o anular las boletas. Al finalizar la elección, algunos de los que participaron a lo largo de todo el evento se juntaron para contar los votos. En un pizarrón, se colocaron en filas los nombres de los dos candidatos, y la tercera opción, y se procedió a enumerarlos. La persona que apuntaba trazaba una línea vertical junto al renglón respectivo, cada vez que se leía en voz alta alguna de las boletas. Pero, para evitar contar todos los trazos al final del evento, el maestro cruzaba con una raya diagonal cada vez que se mencionaba un quinto elemento. Así, al final le quedaron varios grupos de cinco rayas y lo único que tenía que hacer era enumerar el número de grupos, y no el de rayas verticales, que era más voluminoso y, por ende, más difícil de contar, y, por consiguiente, más fácil de equivocarse.

– Bueno, es algo similar, pero déjame usar el sistema de base diez para que no nos queden dudas o ambigüedades entre los dos. Se le llama base diez, porque se requieren ese mismo número de dígitos para poder expresar todos los números que deseemos, sin importar que tan grande podría ser algún número. En este caso, vamos a usar los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. A partir del número diez, cualquier número, por grande que éste sea, se puede expresar como la combinación de cualesquiera de estos dígitos. Por ejemplo, el once se representa como: 11; es decir, dos números uno. Pero, aquí lo fundamental es que no lo leemos ‘uno uno’; sino que, como sabes, en la mayoría de las culturas de occidente, escribimos de izquierda a derecha y al representar un número, el dígito que se encuentre en el extremo derecho, representa a las unidades, que sería la primera jerarquía; el que le sigue a la izquierda, representa las decenas, que correspondería a la segunda jerarquía; el siguiente las centenas, y así en adelante. Por ejemplo, en el caso del número 5937, el siete de la extrema derecha representa siete unidades; el tres a su izquierda representa tres decenas; el siguiente nueve, representa nueve centenas; y, el último cinco, representa cinco unidades de millar. Gracias a este sistema se pueden representar números extraordinariamente grandes, en un espacio relativamente pequeño.

– No puedo negar que me has sorprendido, porque yo nunca había recapacitado sobre estas cuestiones. Pero, ahora que me das esta explicación me doy cuenta que es exactamente la misma manera, aunque con unidades diferentes, de cómo se escribe el tiempo en los relojes digitales. Por ejemplo, en el mío, en este preciso momento se lee: 9:25:50. Donde el ‘50’ corresponde a los segundos; el ‘25’, corresponde a los minutos; y el nueve corresponde a las horas. La lógica es la misma. Los segundos que corresponden a la menor cantidad de tiempo se encuentran en la extrema derecha; le siguen los minutos a su izquierda; y, finalmente, las horas también a la izquierda de los minutos.

– Bueno, tú no estás acostumbrada a pensar en estas cosas porque tienes otras preocupaciones y otros intereses.

– Lo que me quedó claro es que sí existen razones prácticas para pensar en sistemas de bases alternativas: Primero, para medir distintas cosas; y, en segundo lugar, para abreviar cantidades.

– En eso tienes razón. La mayoría de estos sistemas han surgido para satisfacer alguna necesidad práctica del hombre. Lo curioso es que cuando no ha sido así, más adelante, han encontrado alguna manera de aplicarlo. Por ejemplo, el sistema base dos, aquel que únicamente tiene dos dígitos, el cero y el uno, fue discutido por un matemátileibco del siglo XVII; y, ahora, en pleno siglo XXI, esta base está muy en boga pues se utiliza en el funcionamiento de las nuevas computadoras. Pero, no, no te preocupes, por el momento, no te voy a aburrir con esa explicación. Oye, pero me gustaría regresar a mi pregunta original. Te decía que estaba en clase con mis estudiantes y argumentaba que la base numérica más natural es la diez. Pero, después me entró la duda, porque tengo la impresión que, en otras culturas de la antigüedad, surgieron otras bases primero. ¿Me podrías investigar cuáles son las bases más antiguas?

– No necesito hacerlo, pues de hecho, por mi formación histórica, he estado interesada en varias culturas del pasado. En mi trabajo trato de encontrar, y después analizar, aspectos que son comunes a distintas culturas aunque se hayan desarrollado en pe-ríodos de tiempo muy diferentes. A este tipo de metodología, algunos colegas, la llaman historia comparada. En lo personal, siempre me han interesado aspectos de carácter social, en particular lo relacionado con el arte. Pero también he leído sobre otras cuestiones.

Después de la explicación que me has dado, te puedo decir que la mayoría de las culturas antiguas estuvieron interesadas en medir el tiempo. La razón es muy sencilla. Al convertirse de razas nómadas a sedentarias, necesitaban saber, con cierta precisión, el inicio de cada una de las distintas estaciones, ya sabes: primavera, verano, otoño e invierno. Esto con el propósito de saber cuándo tenían que sembrar y cuándo era el momento de cosechar. También había animales que eran migratorios y estas personas requerían saber cuándo iban a volver para poder seguir aprovechando sus recursos. Bueno, pues a estas gentes les preocupaba medir la duración de lo que ahora llamamos ‘un año’. Hace unos minutos mencionaste que, a través del movimiento giratorio de la Tierra sobre su propio eje, se podía medir la duración de un día. Bueno, como tú también sabes, el procedimiento es similar. Lo que se hace, es medir el tiempo que se tarda la Tierra en dar una vuelta completa, pero, ahora, alrededor del Sol. El mecanismo de establecer la duración del año es muy complejo pues, en primer lugar, el ciclo no es exacto sino que ahora sabemos que toma trescientos sesenta y cinco días y un poquito más. En segundo lugar, se necesita observar dicho fenómeno con mucho cuidado y por muchos años. Sin embargo, hubo culturas que, con elementos muy limitados, fueron capaces de medir dicho período de manera bastante exacta.

Los mayas lograron medir la duración de un año con gran precisión. Ellos llegaron a la conclusión que dicho período debía medir poco más de trescientos sesenta y cinco días. Para poder subdividir de una manera precisa y equitativa la duración de cada uno de los meses, establecieron que el año debía medir trescientos sesenta días; y, los cinco días restantes los dedicarían a fiestas y adorar a sus dioses. Entonces procedieron a dividir el año en dieciocho meses de veinte días de duración cada uno de ellos. De esta manera, ellos resolvieron el problema de que no hubiera meses más cortos o más largos que otros. Ahora entiendo que, al adoptar que los meses midieran veinte días, también admitieron la base veinte como su unidad de medida. Después de cada período de veinte días, empezaba un nuevo mes. Por medio de este mismo razonamiento, ahora sé, después de tu explicación, que otras culturas adoptaron otras bases numéricas. Por ejemplo, los babilonios adoptaron la base sesenta. Eso quiere decir que después de contar sesenta elementos pasaban a su nueva unidad numérica superior. ¿Te imaginas? Eso quiere decir que los niños babilónicos se tendrían que memorizar las tablas de multiplicación del uno al cincuenta y nueve.

– Bueno, yo no creo que lo hicieran. En primer lugar, en aquel entonces muy pocos niños, sólo los más ricos, iban a la escuela. El colegio era esencialmente para adultos. Pero, también es posible que esa sea la razón por la que un gran número de las tablillas que se conservan de aquel entonces sean esencialmente tablas de multiplicar. La gente no las debía de memorizar, sino que las tenían a mano para poder consultar los resultados.

– Pero, creo que cada vez nos acercamos más a lo que le querías decir a tus estudiantes.

– ¿Qué es eso?

– Tengo la impresión que les querías decir que la base numérica más natural es la base diez.

– Tienes razón. ¡Ya se me había olvidado!

– Pero, tengo mis grandes dudas. Yo supongo que habías llegado a esa conclusión apoyándote esencialmente en tu sentido común, en la lógica actual y en el hecho de que este sistema es con el que crecimos.

– Pero, ¿por qué dices eso?

– Pues porque ahora que entiendo lo qué es una base, lo lógico y natural es pensar que la base diez es la mejor de todas.

– Entonces me das la razón.

– No, no necesariamente. Aunque no lo has mencionado, para ti es muy lógico pensar en la base diez pues ese es precisamente el número de dedos que tenemos en ambas manos y lo natural sería pensar que los usamos para enumerar objetos, y que cuando llegamos a diez, cambiamos de unidad.

– Me sigues dando la razón.

– ¡Si me dejaras terminar, entenderías mi punto!

– Perdón.

– Mira, independientemente del accidente anatómico de que tengamos diez dedos, y no ocho o siete, existen otros factores que han influenciado para que ahora pensemos que lo más natural es pensar de diez en diez. Aquí creo que la invención del Sistema Métrico ha ejercido una tremenda hegemonía. Ahora sé que el sistema métrico usa la base diez. Y el sistema métrico se ha impuesto como la manera más adecuada de medir todo: áreas, volúmenes, longitudes, etc. Esta forma de medir ha demostrado ser tan eficiente que aún los países que seguían otras normas, como Inglaterra, Canadá y Australia, las han abandonado. Y, ¿sabes de quién fue la idea de inventarlo?

napoleon– No, ni idea.

– De Napoleón.

– ¡Qué bárbaro! Nunca se me hubiera ocurrido que un líder militar estuviera interesado en las matemáticas o en las ciencias.

– No lo voy a discutir por ahora, pero Napoleón no es el único ejemplo. Por aquellos días, en Francia, no existía una norma general de pesos y medidas; lo que hacía sumamente complejo el comercio y la economía pues los precios parecían ser arbitrarios e injustos. Napoleón llamó a uno de sus más grandes hombres de ciencia, Lavoisier, y le encargó el proyecto. La respuesta fue genial, pues permitió unificar el sistema de pesos y medidas. Después, Lavoisier perdería la cabeza durante la Revolución Francesa, pero eso es parte de otra historia.

– Pero, te aseguro que Lavoisier se apoyó en el hecho de que tuviéramos diez dedos.

– Es lo más probable, pues para ese entonces el sistema base diez, divulgado por los árabes pero desarrollado por los hindúes, era común en Europa Occidental. Pero el comentario que les hacías a tus estudiantes iba en otro sentido, pues tú decías que era el sistema numérico ‘más natural’. Pero Lavoisier no apareció en escena sino hasta finales del siglo XVIII, lo cual es relativamente muy cercano a nuestros días. Así que, si fuera lo más lógico, lo natural sería que esta base hubiera aparecido mucho tiempo antes.

– Bueno, pero sí hubo otras culturas en la antigüedad que usaron la base diez.

– Sí, pero si como tú dices eso era lo más natural, entonces lo lógico hubiera sido que la mayoría de las culturas antiguas hubieran escogido el mismo sistema y, no fue así. Pero, además, otro elemento que te traiciona es que pienses con la lógica del siglo XXI. Ahora parece razonable pensar así; pero para los hombres de la antigüedad no era lo mismo. Mira, el pensamiento evoluciona continuamente. Si las diferencias generacionales entre padres e hijos son abismales, ahora imagina entre individuos de distintos siglos. Por ejemplo, no hace mucho, un par de siglos aproximadamente, el honor de un hombre debía estar libre de toda sospecha. Si alguien lo cuestionaba, entonces el ofendido podía retar a duelo a muerte a quien había osado ponerlo en duda. Hoy en día, la mayoría de los hombres se tendrían que retar continuamente, y las calles estarían llenas de cadáveres, pues en los medios informativos aprendes de acusaciones y de difamaciones. En otras cosas nos mantenemos igual de primitivos que hace más de diez mil años.

– Entonces, ¿tú no crees que la base diez fuera la más lógica?

– Mira, nos podríamos pasar discutiendo este argumento por horas sin llegar a conclusión alguna; y tus argumentos podrían ser tan sólidos o endebles como los míos.

– Bueno, pero en ese caso yo podría tener razón.

– Sí, pero no se trata de ver quién de los dos podría tener la razón, porque los dos podríamos estar equivocados. Aquí no nos queda otra opción más que especular, pues nuestros argumentos son muy endebles. No tenemos pruebas físicas concretas que demuestren de una manera concluyente en una dirección u otra. Pero, yo sí te podría decir que existen físicamente algunas evidencias históricas que podrían debilitar tu argumento.

– ¿Cómo cuáles?

– Bueno, en este caso, el hecho de que no todas las culturas de la antigüedad hayan adoptado la base diez, sugiere que no necesariamente era la más natural. Es más, es más fácil encontrar ejemplos de culturas que no la adoptaron a lo contrario. Como ya te comenté, los mayas adoptaron la base veinte y los babilónicos la sesenta. Y también es cierto que ya podríamos haber cambiado el sistema de todos los relojes, pero no lo hemos hecho porque también pensamos que la manera cómo lo hacemos actualmente es la más adecuada.

– Yo argumento que la base diez es la más natural. Tú únicamente me has señalado culturas que se desarrollaron hace muchos años y de las que tenemos muchísimas dudas. Por ejemplo, de la cultura maya aún no sabemos por qué abandonaron sus ciudades y sus centros ceremoniales. Pudiera ser que las interpretaciones históricas estuvieran equivocadas.

– En esto último estoy totalmente de acuerdo contigo, quedan muchísimas dudas. Pero, también hemos avanzado mucho y algunas de las interpretaciones se respaldan entre sí. Existe consistencia lógica, cronológica y conceptual. Pero, más importante aún, te puedo señalar que existen algunas pistas físicas que sugieren que el hombre antiguo no necesariamente concibió a la base diez como la más natural, como tú señalas.

– ¿Existe evidencia física?

– Sí, por supuesto. Una de las fuentes físicas antropológica más antigua que se conserva en torno a las matemáticas es un hueso de lobo, probablemente un fémur. A este fósil se le ha calculado una antigüedad de treinta mil años. Este resto tiene talladas marcas de la misma longitud y anchura que sugieren que alguien los talló mientras enumeraba algún tipo de objeto. ¿Sabes lo más sorprendente? Ese hombre usó el mismo método que te comentaba que practicó uno de mis compañeros en la elección del otro día. En esta ocasión en lugar de trazar una línea diagonal y señalar grupos de cinco, el contador talló una mueca más larga al enumerar el quinto objeto. De tal manera, que el procedimiento sugiere que este individuo, a continuación, contó las rayas más largas para abreviar el proceso. El sistema que se encuentra inmerso en dicho procedimiento es base cinco, no la base diez.

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– Pero, de nuevo eso es muy viejo.

– Sí, pero cuando les hiciste el comentario a tus alumnos te referías también a lo más viejo, pues les mencionaste que era la base más natural.

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– Pero, a lo mejor las evidencias físicas no las hemos sabido interpretar.

– Ahora sí que ya nada más estás de necio y no quieres aceptar los argumentos que contradicen tu punto de vista. Pero, te voy a mostrar una prueba aún más contundente. Como sabes, aún existen grupos de individuos que viven en condiciones extremadamente limitadas y primitivas, como si todavía habitaran en la época de las cavernas. Sabemos de este tipo de grupos en el río Amazonas y en otras islas remotas. De estos grupos, existe una tribu que vive en Nueva Guinea y que conserva costumbres y actividades como aquellas del hombre que pobló la tierra hace más de treinta mil años. ¿Sabes algo? Ellos no usan la base diez. Ellos usan la anatomía de su cuerpo, como nosotros lo hubiéramos pensado por lógica. Así que primero usan los dedos de una mano para contar del uno al cinco, pero después no usan los dedos de la otra mano para contar del seis al diez. Resulta ser que físicamente no lo pueden hacer, porque ellos usan un dedo (el índice) de una mano para señalar a los de la otra. Resulta, anatómicamente imposible, usar el mismo dedo índice para indicar los dedos de esa misma mano. Así que, al terminar con los primeros cinco dedos, el aborigen procede a señalarse otras partes del cuerpo.

– ¿Cuáles?
– Lo anatómicamente procedente es seguir usando el dedo índice con el que señalas y proceder en orden, de lo más cercano a lo más lejano de la propia mano. Así que continua con señalar la muñeca, después el codo, el hombro, etc. Así la muñeca es el número seis, el codo el siete, y así en adelante.
– Físicamente resulta más natural.
– Mañana te traigo una lámina donde se indican estos números para que se la muestres a tus estudiantes. Bueno, además podría añadir que en el lenguaje mímico tampoco se usan los diez dedos de la mano para contar. Para llevar a cabo este proceso, para contar del seis en adelante, es suficiente con voltear la mano y usar los mismos dedos.
– ¡Qué bueno que hablé contigo! Un millón de gracias. Me queda claro que mi intuición y lógica no son suficientes para entender al hombre, sobre todo si hablo de su pasado.

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