Bases Numéricas (parte II)

Las matemáticas son la reina de las ciencias, y la aritmética es la reina de las matemáticas. Gauss
Alejandro R. Garciadiego
Lic. Matemáticas, UNAM, 1977 PhD. Historia de las Matemáticas, U of Toronto, 1983 gardan@unam.mx
Resumen

En esta segunda parte del ensayo —dirigido al público general, pero en particular a los docentes de educación básica— se propone introducir el concepto de base diez sin recurrir a definiciones formales, ni tecnicismos, ni simbología abstracta; para, más adelante, proporcionar algunos ejemplos y, después, verificar la comprensión a través de problemas y ejercicios. El enfoque es el opuesto: a partir de la descripción y manipuleo de situaciones de la realidad cotidiana, se infiere una definición intuitiva; y, aún más importante, no se sacrifica la evolución conceptual de la materia en aras de su sobre simplificación pedagógica.

Palabras Clave: Matemáticas, historia, enseñanza, aprendizaje, base numérica, operaciones aritméticas básicas
Msc: 00A06, 00A35, 97C80
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¿Cuál es la base más natural?

– Oye, qué bueno que te veo de nuevo. Creo que los dos aprendimos mucho de nuestra conversación anterior. Tú, como profesor de matemáticas, me enseñaste que uno de los propósitos fundamentales para desarrollar una base numérica es para simplificar cantidades. Eso me quedó muy claro con tu ejemplo de medir las edades de las personas. ¿Te imaginas lo complicado que sería si, como mencionaste, en lugar de usar años usáramos días o segundos? También me quedó claro que usamos distintas bases numéricas para medir distintas cosas. Me gustó mucho tu ejemplo del reloj para medir el tiempo, pues ahí se puede observar cómo usamos distintas clases de unidades de manera simultánea y no nos parece difícil hacerlo. Por ejemplo, los minutos están divididos en sesenta segundos; al igual que las horas están divididas en sesenta minutos; pero los días contienen veinticuatro horas. Pero, lo que más me sorprendió y me maravilla más cada vez que lo pienso es la genialidad de haber creado el sistema métrico decimal pues simplifica nuestros cálculos al tener que multiplicar o dividir únicamente entre diez; y eso es lo más fácil del mundo pues lo único que tienes que hacer es agregar o quitar un cero. Esto me hizo pensar en otros sistemas, como el original inglés de distancias; y honestamente no me queda claro cuál es la relación entre pies, codos y millas.

– Debo de reconocer que aunque en un principio estaba muy escéptico de lo que pudieras aportar como historiadora, también se me aclararon muchas ideas pues yo estaba seguro que la base diez era necesariamente la más ‘natural’, entre comillas.

– Pero, lo que no me queda claro, y yo creo que es el origen de muchas de mis dudas, dificultades que no tenía antes de nuestra conversación, es por qué usamos los mismos símbolos para referirnos a distintas bases. Por ejemplo, ¿no crees que sería más claro que usáramos otros símbolos para medir el tiempo, si no lo hacemos en base diez? Así al ver esos símbolos ‘especiales’ automáticamente sabríamos que estamos usando una base especialmente dedicada para la noción de tiempo.

numbers1

– Permíteme, ¿sugieres que inventáramos distintos garabatos cada vez que usáramos una base diferente?

– Claro, así sabríamos de seguro que no estamos operando en base diez.

– Pero, ¿te das cuenta que con cada número se puede hacer una base diferente? Hasta ahora hemos mencionado las bases, sino mal me acuerdo, dos, cinco, diez, veinte y sesenta. Pero podríamos pensar en las bases tres, cuatro, seis, y así, indefinidamente. ¿Te imaginas la cantidad de bichos que tendríamos que inventar? Si así la matemática ya es difícil, imagínatela con más símbolos y garabatos. No, no quiero ni pensarlo, si así ya nos odian los estudiantes, para que le agregamos más dificultades. Pero, más importante, y lo discutiremos más tarde, si no usamos los mismos símbolos no podremos traducir de una base a otra.

– Empiezo a imaginarme las complicaciones.

– Ten presente, aunque no lo creas, que los matemáticos continuamente piensan en la manera de simplificar su materia y hacerla más accesible para el público en general.

– ¿Cómo va a ser eso posible, si todos nos quejamos de lo contrario?

– Te voy a dar un ejemplo concreto que está relacionado con nuestro tema. ¿Te acuerdas de las tablas de multiplicar?

– Por supuesto. Oye, ¿pues qué piensas de mí?

– No, no lo tomes a mal. ¿Cuál es su propósito?

– ¿Atormentar a los niños?

– ¿Qué pasó? Ya no me tomas en serio.

– Perdón, me dejé llevar por mi poca simpatía por los matemáticas.

– No, mira. El objetivo de las tablas de multiplicar es simplificar las operaciones de suma.

– ¿Cómo es eso?

– Cuando alguien te pregunta cuánto es siete por cuatro, tú de inmediato contestas: veintiocho. Pero, en realidad eso es equivalente a preguntarte cuánto es siete más siete más siete más siete. O también puedes pensar, esa misma pregunta, como cuatro más cuatro más cuatro más cuatro más cuatro más cuatro más cuatro. ¿Cuál de tus procedimientos resulta más sencillo? Por un lado realizas una operación, pero por el otro necesitas cuatro o siete.

– Oye, pero aprenderte las tablas fue un tormento.

– Fue un tormento en aquel momento; pero piensa en las miles de operaciones que te has evitado desde entonces. ¿Tú usas el Metro para transportarte? ¿Compras muchos boletos a la vez para no tener que hacer fila muy seguido? Si mañana subiera el precio del Metro, y si no supieras de memoria las tablas de multiplicar, entonces tendrías que sumar el costo de cada uno de los boletos, uno por uno, para saber el nuevo total. Te aseguro que si hubiera más gente en la fila se enojarían contigo al ver que te tardas y te empezarían a gritar de cosas.

– Ahora veo que la operación de multiplicar abrevia muchas posibles sumas.

– Y, a su vez, la operación de la exponenciación abrevia muchas multiplicaciones.

– ¡Ah, caray! Nunca la había visto así. Como te dije, siempre vi las matemáticas como distintas formas de atormentarnos.

– Este es un mal entendido general. Este es otro estereotipo falso. Las matemáticas siempre tienden a hacernos las cosas más fáciles. Lo que sucede es que a veces no entendemos los razonamientos que nos ofrecen en clase y nos desesperamos.

– Pero, de nuevo a mi duda, ¿no crees que sería más fácil usar distintos símbolos para distintas bases numéricas? Así lo tendríamos más claro.

– Voy a contestar a tu pregunta de manera indirecta. ¿Qué haces cuando vas a rentar una película y por el reverso de la caja dice que tiene una duración de ‘120’ minutos?

– Lo divido entre sesenta para ver cuánto dura en horas y así saber si voy a tener suficiente tiempo para verla.

– Tú ya sabes que está en base sesenta y quieres simplificar la cantidad.

– Oye, pero ¿por qué los productores de ‘cds’ y ‘dvds’ no abrevian las cantidades y simplemente ponen ‘dos horas’?

– Yo creo que aquí recurren al aspecto psicológico de que ciento veinte minutos suena mucho más que dos horas y lo que quieren hacer es vender un producto que aparentemente es más largo o grande de lo que realmente es. Es como cuando vas a una tienda y te dicen que un pantalón cuesta doscientos cuarenta y nueve pesos con noventa y cinco centavos. Mucha gente piensa: ‘por qué no dicen simplemente doscientos cincuenta’. La respuesta es que psicológicamente tú piensas que la primera cantidad es menor. Otro truco psicológico son los empaques de las cosas. Te dan una caja enorme, y el producto resulta ser del tamaño de una mosca. Pero, de nuevo con tu duda. Tú ya sabes en qué base se mide el tiempo. No necesitas que te lo adviertan o que esté expresada con otros símbolos. ¿Te imaginas que en la escuela te hicieran aprenderte todavía más cosas? Nos volveríamos locos.

– Sí, ahora veo que con mi sugerencia en lugar de simplificar un proceso, se complicaría mucho más. Como dice el dicho: sería peor el remedio que la enfermedad.

– Pero, volvamos a la belleza de todo el proceso e insisto en que los matemáticos nos hemos preocupado por presentarlo de la manera más sencilla posible.

– Necesito que me convenzas.

– Me habías mencionado lo impresionada que estás con la sencillez de la base diez. ¿Te podrías imaginar qué hubiera pasado, si en lugar de haber adoptado la base diez hubiéramos tomado, por ejemplo, la base sesenta, como fue el caso de los babilónicos? Eso hubiera sugerido, para el día de hoy, que en las escuelas primarias nos hubiéramos tenido que aprender las tablas de multiplicar del uno al cincuenta y nueve. ¿Si de pequeños tenemos dificultades al intentar memorizar la tabla del siete, ahora imagínate que tuviéramos que haber estudiado, al menos, cincuenta tablas más?

– Si seguimos ese razonamiento, entonces nos habría convenido adoptar la base dos y así sólo nos habríamos tenido que aprender las tablas de dos números.

– Estoy de acuerdo, pero por otro lado también toma en cuenta que las matemáticas son como la vida real y buscamos lo que sea más cómodo, eficiente y práctico. Por ejemplo, piensa en algo tan sencillo como construir un escalón. Lo podrías hacer sumamente angosto y chaparro para no gastar mucho material y para que, supuestamente, fuera más fácil de subir, pero entonces tendrías que construir muchos escalones para cubrir la misma distancia y tal vez sería más cansado subir la escalera y terminarías gastando más material. Te puedes ir por el contrario, y construir escalones muy altos y anchos. Es muy posible que fuera necesario construir un número menor de ellos, pero también es un hecho que sería más difícil y cansado subirlos. Así, los constructores han llegado a la conclusión de que hay un tamaño ideal de escalón. ¿Qué tal cuando se descomponen las escaleras eléctricas en el Metro? Inmediatamente notas la diferencia: subirlas a pie está del demonio.

– Oye, perdona, ¿y esas escaleras por qué son diferentes?

– Pues justo porque ahí la altura es irrelevante: la mayoría de los usuarios únicamente se paran sobre ellas, no las suben. De hecho, cuando tienes la opción, en un mismo lugar, de usar escaleras normales o eléctricas, inmediatamente utilizas las últimas pues sabes que no vas a hacer esfuerzo alguno. Y algo así sucedería con una base numérica muy grande o muy pequeña, en su uso cotidiano; se volvería incómoda, o porque tienes muchos números o porque tienes pocos. Es cuestión de comodidad. El tamaño de las escaleras eléctricas debe estar determinado por el costo de fabricación o por la facilidad de mantenimiento. Pero, de vuelta con tu sugerencia, si adoptáramos la base dos, como dices, únicamente nos tendríamos que aprender dos tablas de multiplicar, pero se requerirían muchos dígitos para escribir aún los números más sencillos, y, entonces, expresarlos sería más complejo.

– ¿Cómo está eso?

– Sí mira. La belleza del sistema base diez es, como tú ya misma lo dijiste, que únicamente es necesario multiplicar o dividir entre diez para subir o bajar de una unidad a otra. Para generar nuevas unidades superiores es suficiente agregarle, a la derecha de la expresión, ceros a la unidad anterior. Por ejemplo, si vas medir una fotografía para enmarcarla, entonces usas centímetros. Pero, si vas medir una pared para pintarla, ahora usas metros. La relación de ir entre centímetros a metros es únicamente dividir entre o multiplicar por cien, y eso se reduce a quitarle o agregarle dos ceros.

– Pero, ¿no existe un mejor sistema que la base diez?

– No existe una respuesta absoluta para dicha pregunta, a veces sí y a veces no. Si lo que quieres es medir el tiempo, lo hacemos con una base distinta a la diez. Pero casi todo lo demás se simplifica si lo expresamos en base diez. Esta base combina la sencillez de aumentar o reducir de unidades con el número ideal de dígitos para expresar las cantidades. Ni son muchos, ni son pocos. No son pocas las tablas que nos tenemos que memorizar, pero tampoco son un número extraordinario, aunque muchos piensan lo contrario. Incluso coincide con el accidente anatómico de que tenemos diez dedos en ambas manos para poder contarlos.

– Pero, insisto, ¿por qué dices que es el ideal?

– El otro día te mencionaba un número, creo que era el 5937. Por un momento imagina que no existieran los símbolos para expresarlo y que tuviéramos que decir o escribir: ‘cinco mil novecientos treinta y siete’. Compara las dos expresiones. Una es mucho más breve, pero además puede ser más precisa y no contener errores de ortografía.

– Aún no me convences de que sea la ideal.

– Para que comprendas la sencillez de la expresión matemática, piensa que este mismo número lo podríamos enunciar como: ‘5000, 900, 30, y 7’ y la expresión 5937 sería el resultado de reunir cinco mil, más novecientos, más treinta, más siete. Es claro que esto es sumamente complicado. Piensa únicamente en todos los ceros que nos vemos obligados a incorporar. Nuestro sistema numérico nos permite expresarlo de manera muy breve. Pero las ventajas no se encuentran simplemente en la expresión, sino también en la manipulación de estos vocablos. Imagínate lo complicado que sería sumar ‘5000, 900, 30, y 7’ más ‘80000, 4’. Ahora, ¡imagínate multiplicarlos!

– Estoy acostumbrada a ver así las cantidades, y no me había puesto a reflexionar lo que significan.

– Retoma, de nuevo el número 5937 y desmenuza su expresión.

5937 = 5000, 900, 30 y 7

Pero,

5000 = 5 * 1000

= 5 * 100 * 10

= 5 * 10 * 10 * 10

Ahora,

900 = 9 * 100

= 9 * 10 * 10

De igual manera,

30 = 3 * 10

– ¡Aparecen muchos dieces!

Porque estamos precisamente en base diez. Pero, acuérdate que, aunque no lo creas, los matemáticos siempre tratamos de simplificar las cosas. Para evitar tantos dieces es necesario simplificar nuestras operaciones. Hace un momento te mencionaba que la exponenciación simplifica la multiplicación. Así que, ahora, la tabla la podemos expresar de la siguiente manera:

5937 = 5000 + 900 +30 +7

donde,

5000 = 5 * 10 * 10 * 10 = 5 * 103

Ahora,

900 = 9 * 10 * 10 = 9 * 102

De igual manera,

30 = 3 * 10 = 3 * 101

Y, finalmente,

7 = 7 * 1 = 7 * 100

Ahora, vamos a sustituir el número 5000, y el 900, y el 30 y el 7 en nuestra primera expresión, de tal manera que el número 5937 lo podemos expresar como:

(5 * 103) + (9 * 102) * (3 * 101) + (7 * 100)

– Oye, pero hay cosas que no entiendo. Para empezar, ¿de dónde sacaste que 100 es igual a uno? Yo nunca había visto eso.

– Mira, te lo podría demostrar [ a0 = a1-1 = a1 + (-1) = a1 · a-1 = a · 1/a = a/a = 1] pero, por el momento, hazme caso: sí hay una razón clara para ello, pero ahora no quiero que te pierdas o te confundas más. En el futuro, siempre que tengas un número elevado a la potencia cero es igual a uno.

– ¿El que sea? No importa que sea diez mil a la cero.

– El que sea. Siempre es igual a uno. Pero, observa el último renglón de la tabla. Como te decía, los matemáticos, aunque aún no lo creas, tratan de hacer las cosas más simples y bellas. Nos podemos ahorrar escribir todos esos dieces únicamente al tomar en cuenta la posición que tienen los números.  Ya habíamos mencionado que en este número 5937, el siete de la extrema derecha representa siete unidades; el tres a su izquierda representa tres decenas; el siguiente nueve, representa nueve centenas; y, el último cinco, representa cinco unidades de millar. Así, únicamente por su posición, sabemos si nuestro dígito está multiplicado por 103 o por 1010000. No es necesario ponerlos. ¿Qué te parece?

– ¡Fantástico! Imagínate si cada vez que escribiera un número tendría que poner muchos dieces con sus exponentes. Pero, ¿cómo podemos saber que la expresión de cada número es única y que además los podemos expresar todos?

– Piensa en otro número muy parecido, por ejemplo, 5907. De nuevo el siete nos indica siete unidades, el nueve representa nueve centenas y el cinco representa cinco millares. Pero, ahora el cero te indica que no tenemos decenas. En este caso, escribirías, en forma detallada, en base diez al número 5907, como

(5 ∙ 103) + (9 ∙ 102 ) + (0 ∙ 101) + (7 ∙ 100).

Pero, tú sabes que cualquier número multiplicado por cero es cero. Así que este mismo número, por simplicidad, lo podemos expresar como,

(5 ∙ 103 ) + (9 ∙ 102 ) + (7 ∙ 100),

que ya sabes es igual a 5907.

– Bueno, al menos, creo que ya me quedó claro porque se le llama base diez. En este sistema, cada número es expresado, de acuerdo a su posición, por una potencia de diez.

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