Bases Numéricas (parte III)

Con números se puede demostrar cualquier cosa. Thomas Carlyle
Alejandro R. Garciadiego
Lic. Matemáticas, UNAM, 1977 PhD. Historia de las Matemáticas, U of Toronto, 1983 gardan@unam.mx
Resumen

En la tercera parte de este ensayo —dirigido al público general, pero en particular a los docentes de educación básica— se propone introducir el concepto de base numérica dos sin recurrir a definiciones formales, ni tecnicismos, ni simbología abstracta; para, más adelante, proporcionar algunos ejemplos y, después, verificar la comprensión a través de problemas y ejercicios. El enfoque es el opuesto: a partir de la descripción y manipuleo de situaciones de la realidad cotidiana, se infiere una definición intuitiva; y, aún más importante, no se sacrifica la evolución conceptual de la materia en aras de su sobre simplificación pedagógica.

Palabras Clave: Matemáticas, historia, enseñanza, aprendizaje, base numérica, operaciones aritméticas básicas
Msc: 00A06, 00A35, 97C80
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Base dos: muy útil y práctica

– Oye, el otro día, durante nuestra segunda conversación, me platicabas que podría haber tantas distintas bases como números hay.

– Así es.

– Eso quería decir que habría una infinidad de posibilidades.

– Así es. Veo que el tema de las matemáticas te ha empezado a cautivar.

– Algo hay de eso. Ya sabes, parafraseando a Aristóteles, me atrae conocer. Pero, de regreso al tema. Me interesa saber qué otras bases se conocen y cómo se manipulan.

– Como tú misma dices, puede haber una infinidad pues, como sabes, la cantidad de números ({1, 2, 3, 4, …}) es infinita, no tiene límite. Cualquier número que se mencione, siempre existe otro mayor, basta con sumarle una unidad.

– Sí. Pero no me interesa una respuesta filosófica o posible. Me atrae la idea de conocer ejemplos concretos.

– Bueno, a lo largo de nuestras conversaciones, ya hemos mencionado varios casos. Hemos hablado de la base sesenta para medir el tiempo. También mencionamos, si no mal recuerdo, que los mayas usaban la base vigesimal, es decir, la base apoyada en el número veinte. Esto les permitió a ellos dividir los meses del año en el mismo número de días. Así no tenían problema que un mes fuera más corto o largo que otro. También es muy importante señalar que los mayas concibieron el cero que, como sabes, es pieza fundamental en el sistema posicional. Si no existiera el cero, ¿cómo diferenciar entre los números 59037, 50937, 59307 y 59370? También aparecieron por ahí casos de la base cinco cuando la usamos de manera informal para contar el número de votos de una elección y en la ocasión que algún hombre primitivo talló muecas sobre un hueso de lobo. Te acuerdas que, en el primer caso, formábamos grupos de cuatro elementos tachados por una diagonal; y, en el segundo caso, las quintas muecas eran más largas. Al final del proceso en lugar de contar cada uno de los votos o de las muecas, tomábamos únicamente en cuenta el número de grupos.

calendariomaya

– Sí, me acuerdo de todos esos ejemplos; como dices, la base cinco la usamos de manera muy informal. Pero, dime, ¿no hay otros ejemplos más serios? ¿Otros ejemplos que se usen de manera cotidiana?

– Te voy a proporcionar otro ejemplo informal y después te presento lo que me imagino que buscas. ¿Estás de acuerdo?

– Perfecto.

– Bueno, la base doce no la hemos mencionado. Esta base se usa de manera cotidiana de muy diversas maneras; por ejemplo, hay diversos productos que aún compras por docena, es el caso de los blanquillos, las tortillas, tlacoyos y sopes. Aquí la unidad es la docena. Algunas empresas realizan los pagos a sus proveedores a treinta, sesenta o noventa días. Ahí tendrías, respectivamente, ejemplos de base treinta, sesenta y noventa. Aquellos individuos que usan agendas, en su mayoría, usan la base siete que es la unidad de medida de una semana. Al depender de las actividades y necesidades, habrá individuos o instituciones que utilicen distintas unidades para ordenar distintas actividades.

– Bueno, eso no me aplica, porque soy muy desordenada. Con que veas mi escritorio te darás cuenta que es el puro caos. Pero, me ibas a hablar de bases ¿no?

– Déjame primero platicarte cómo es que esta base también es muy común para ti, pero lo haces de manera inconsciente, así que no te das cuenta que la usas.

– ¿Cuál es esa base?

– La dos

– ¿Eso quiere decir que solamente utilizas dos dígitos para expresar todos los números, verdad?

– Si, así es. Usaremos el cero y el uno.

– Y, ¿por qué no el uno y el dos?

– De la misma manera que no usamos el diez para la base diez.

– Claro, que sí lo usamos. Yo me acuerdo que en algún momento teníamos muchos dieces.

– No, si recuerdas bien, únicamente usamos los dígitos del uno al nueve, incluyendo al cero. Pero no usamos el diez ex profeso para no confundirlo con las potencias, en ese caso todos los dieces, de la misma base.

– ¡Qué bárbara! No le había prestado atención a ese detalle. Oye, ¿pero a poco con dos dígitos únicamente vas a poder representar todos los números?

– Igual que con la base diez.

– Pero, en ese caso tenías diez dígitos, y ahora únicamente tienes dos.

– No te preocupes ya te percatarás que sí se puede. Pero, déjame platicarte un par de cosas para que te des cuenta que, de manera informal e inconsciente, usas la base dos y, por otro lado, te voy a platicar un cuento que te va a demostrar que con la base dos puedes escribir números enormes.

– Bueno, los cuentos siempre me han gustado, así que empieza.

– Primero te voy a mostrar que la base dos no te es desconocida. ¿Te has puesto a pensar lo maravilloso que es entrar a un cuarto obscuro y con el simple hecho de oprimir un apagador, iluminarlo?

– Creo que únicamente te percatas de ello cuando en tu casa no hay luz y no puedes subir por el elevador, o ver la tele, o prender la computadora, o incluso saber si hay alguien a la puerta pues el timbre no funciona.

– Pues bien, el apagador funciona en base dos. Sólo tienes dos alternativas: prendido o apagado.

– Pero, ¿qué chiste tiene eso?

– Bueno, déjame darte otro ejemplo. ¿Has jugado ‘Personajes’?

– ¿Cuál?

– Aquel juego donde tú escoges algún personaje de la historia y le das a tu contrario veinte preguntas para adivinarlo.

– Sí, lo conozco. Pero, ¿dónde está la base dos?

– El chiste del juego es que sólo puedes responder ‘sí’ o ‘no’ a cada pregunta, es decir, sólo tienes dos opciones; es como si tuvieras dos dígitos. Cuando tratas de adivinar, haces preguntas que te eliminen posibilidades. Tú sabes que sólo te podrán decir: sí o no. Este es el mismo método que usan los programadores cuando diseñan un nuevo programa. Ellos le dan únicamente dos posibles opciones a la computadora, y dependiendo de la respuesta,  ésta abrirá o cerrará una de las opciones.

– Creo ya entender de qué me hablas. Pero, no me puedo imaginar que puedas escribir números muy grandes con únicamente dos dígitos.

– Para convencerte, te voy a narrar un cuento. Se dice que en un reino muy lejano, tanto en distancia como en tiempo, vivía un rey que vivía obsesionado por los juegos de mesa. Se dice que ya los conocía todos y que se empezaba a aburrir. Para motivar el ingenio de sus súbditos se le ocurrió organizar un concurso y premiar al ganador. Se creía tan rico que en lugar de fijar de antemano un premio al primer lugar, publicó que el ganador tendría derecho a escogerlo él mismo. Así, se presentaron muchos concursantes y después de revisar los nuevos juegos, el rey decidió premiar aquel que le parecía más ingenioso y más entretenido. Cuando llamó al ganador y le preguntó el nombre del juego, éste simplemente le dijo: ‘Ajedrez, mi señor’. Más adelante el rey inquirió cómo quería ser premiado y el sujeto le dijo: ‘En realidad es muy fácil, señor. Usted habrá notado que el tablero del juego está conformado por cuadros, donde se colocan las piezas. Son sesenta y cuatro cuadros en total, unos negros y otros blancos. Bueno, lo que pido es muy poco. Quisiera que en el primer cuadro se colocará un grano de arroz; en el segundo el doble de esa cantidad, es decir, dos granos; en el tercer cuadro, el doble de la cantidad anterior, es decir, cuatro granos; en el cuarto el doble de la cantidad anterior, es decir, ocho granos; y, así en adelante, en cada cuadro subsiguiente deberá haber el doble de la cantidad de granos’. El rey se había imaginado que le podrían haber solicitado joyas, o tierras, u otras cosas de mucho valor. Pero, cuando recapacitó que únicamente le pedían granos de arroz se le hizo muy poco e inmediatamente ordenó a sus subalternos que cumplieran con el premio. A los pocos días, los empleados regresaron con el rey y le informaron que se había quedado en bancarrota, que había perdido todo su dinero. Obviamente, el rey reclamaba qué cómo era eso posible, que unos días antes sus arcas se encontraban atiborradas de bienes. Entonces, le informaron que todo tenía que ver con el premio prometido; que al cumplir con sus órdenes habían tratado de comprar la producción de arroz necesaria para cubrir la demanda pero que era imposible. Le informaron que ya se habían acabado los fondos y que aún no podían cumplir con lo que había pedido el súbdito. El rey seguía sin entender qué había pasado, hasta que uno de sus subalternos le explicó por qué dicha demanda era tan exagerada. El empleado le dijo: ‘Recordara, majestad, que este individuo quería un grano de arroz en el primer cuadro. El doble, es decir, dos en el segundo. El doble, es decir, cuatro, en el tercer cuadro.’ ‘Claro que recuerdo’, bufaba el rey, ‘pero, ¿qué tan grande puede ser ese número si sólo hay sesenta y cuatro cuadros en el tablero de ajedrez?’ El empleado le dijo: ‘Mejor le hago una tabla para que se percate que tan rápido crece dicha cantidad. Primero es

1

después,

2,

luego,

4,

enseguida,

8,

más adelante es,

16,

e inmediatamente

32.

Pero, cuando llegamos al último cuadro, la cantidad es,

9, 223, 372, 036, 854, 775, 808.

Pero, este número que, como usted mismo se podrá dar cuenta es enorme, no es la suma total, sino únicamente, la cantidad de granos que deben de ir en el último de los cuadros. Pero, además debemos de entregarle lo correspondiente al primer cuadro, y al segundo, y así en adelante. Es decir, la cantidad por liquidar es

1 + 2 + 4 + 8 + … + 4,611,686,018,427,387,904 + 9,223,372,036,854,775,808.

Como le decía, señor, ya vaciamos las arcas y aún no terminamos de pagarle. Lo justo sería que abdicara su trono a nombre de él’.

– Oye, estoy sumamente impresionada, nadie se imaginaría que podría resultar un número tan grande.

– Tienes razón, pero aunque no lo creas, este número es, sin embargo, muy pequeño.

– ¿Cómo va a ser?

– Para mostrártelo es necesario primero que pongas atención a qué equivale dicha sucesión de números. Observa la sucesión de las sumas finales, y ahora piensa los números de la siguiente manera:

1 = 20

2 = 1 · 2 = 21

4  = 2 · 2 = 22

8 = 2 · 2 · 2 = 23

16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25

64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26

4, 611, 686, 018, 427, 387, 904 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · … · 2 = 262,

y

9, 223, 372, 036, 854, 775, 808 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · … · 2 = 263.

En realidad, lo que el súbdito le había pedido es que le pagara con una cantidad de granos que equivaldría a

20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + … + 262 + 263.

¿Ya reconociste la base dos? Todos los números los hemos expresado como potencias del número dos.

– Ahora sí comprendo que se pueden generar números muy grandes en base dos.

– Pero, te digo que aún ese número de granos es muy pequeño. Trata de imaginar, pero sólo trata, qué tan grande puede ser el número

29223372036854775808.

Ahora, piensa qué tan grande podría ser

92233720368547758089223372036854775808.

– No, pues es inimaginable. Ahora ya entiendo que, cuando era pequeña y, jugaba a ver quién podía decir el número más grande no teníamos la menor idea de qué tan grandes pueden ser los números.

– Yo creo que todos hemos practicado ese juego de una manera u otra, y como tú dices, no tenemos idea de qué tan grandes pueden ser los números. Oye, pero también ya te habrás dado cuenta que cualquier número lo puedes expresar en base dos, usando únicamente los dígitos 0 y 1. Lo que tenemos que encontrar es la sucesión de potencias de dos que sumadas resulten dicho número.

Por ejemplo, el número catorce en base dos se escribe como

1110

que se lee: uno, uno, uno, cero y no ‘mil ciento diez’ y donde

1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + 0 ·20,

es igual a,

1 · 8 + 1 · 4 + 1 · 2 + 0,

igual a,

8 + 4 + 2 + 0 = 14.

Como te podrás dar cuenta, al no contar con muchos dígitos como en el caso de la base diez, ahora tendremos que repetir mucho los dos que tenemos.

– Oye, ¿pero me podrías explicar de otra manera lo que hiciste pues me perdí?

– Mira, supón un nuevo caso. En este ejemplo pensemos en el número 365. Bueno, para empezar, lo ideal sería tener a la mano una tabla de las potencias de dos. Si la usáramos mucho, como las tablas de multiplicar en base diez, no tendríamos otro remedio más que memorizarla. Pero afortunadamente no tenemos que hacer eso.

Hagamos una tabla

20 = 1

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

26 = 64

27 = 128

28 = 256

29 = 512.

En este caso ya no es necesario llegar al 512, es decir 29, pues ya nos habríamos pasado y queremos expresar el número 365 como una combinación de potencias de dos. Tomemos 256. Ahora nos falta agregarle otros 109 números para llegar a 365. Esto quiere decir que no podemos tomar la siguiente potencia (27 que es igual a 128) porque, de nuevo, ya nos habríamos pasado. Tomamos la que sigue, es decir, 26 = 64. Si sumamos 256 + 64, tenemos 320. Aún nos faltan, 45 para llegar a 365 que es nuestra meta. La siguiente potencia es 25 que es igual a 32. Ya llegamos a 352. Es decir, aun nos faltan 13. Eso quiere decir que no podemos usar 24 (= 16) porque, de nuevo, ya nos habríamos pasado. Así que usamos 23 (= 8) y ahora únicamente nos faltan cinco unidades. Eso nos permite usar 22 que sabemos que es 4 y finalmente agregamos 20 que es igual a uno y hemos llegado a nuestra meta. Hagamos la lista de las potencias que usamos:

28, 26, 25, 23, 22, 20

Y, también la lista de las que no usamos, es decir,

27, 24 y 21.

Cuando explicamos la base diez, y señalábamos que no se encontraba alguna de las unidades, entonces multiplicábamos dicha potencia de diez por cero. Aquí, de hecho, el sistema es más simple, pues como solo usamos dos dígitos, multiplicar por uno nos indica que esa potencia sí la debemos de tomar en consideración y si la multiplicamos por cero la anulamos ya que todo número multiplicado por cero es cero. Así, nuestra sucesión de potencias de dos nos queda como sigue:

365 = 256 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1,

pero, esto es igual a

28 + 26 + 25 + 23 + 22 + 20

Pero, al igual que en base diez, necesitamos cuidar dos aspectos: primero, cuidar la posición de las unidades; y, segundo, simplificar nuestro sistema y evitar el uso de tanto exponente. Para eso tomamos en cuenta que no usamos algunas de las potencias y es necesario multiplicarlas por cero para eliminarlas. Así este mismo número es igual

1 · 28 + 0 · 27 + 1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20.

Este número, al eliminar las potencias y los productos cero, nos queda

101101101.

– Oye, pero es impresionante la cantidad de unos y ceros que se necesitan para expresar un número tan pequeño como 365.

– Ya te lo había dicho. Como únicamente tenemos dos dígitos, es necesario repetirlos muchas veces para poder expresar aún números muy pequeños. Ahora, ¿aprecias la belleza y sencillez de la base diez?

– Nunca pensé que lo podría decir: ¡Benditas tablas de multiplicar! Pero, antes de que te vayas. Aún me quedan algunas dudas. En algún momento me dijiste que tenía que aceptar que 20 es igual a 1, pero, honestamente, va contra mi lógica.

– No te preocupes ya tendremos otros momentos para platicar. Pero, no eres la única. Todos tenemos dudas. Imagínate, los matemáticos y filósofos aún no se ponen de acuerdo en responder a la pregunta qué es un número.

– ¿Cómo puede ser eso? Y, entonces, ¿todo lo que hemos platicado?

– No, no te preocupes por lo anterior. Pero, ya platicaremos.

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