Caminando al infinito

David Plata Martín
Lic. Matemáticas, UNAM, 2010
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Supongamos que dos personas, Alizée, una famosa cantante, y Pepito, el niño de los chistes, están parados a dos metros de distancia uno del otro.

1-infinito

A Pepito, como a cualquier otro hombre mortal, le gustaría llegar a donde está Alizée y tiene que empezar a caminar hacia ella, pero no lo va a hacer en forma libre, pues no quiere que Alizzé lo note y se vaya, sino que va a seguir las siguientes instrucciones: cada paso que dé, va a cubrir exactamente la mitad de la distancia que lo separa de Alizée. Es decir,el primer paso que Pepito va a dar será de un metro, ya que la distancia que lo separa de Alizée es de dos metros.

2-infinito

Pepito va a seguir caminando y su próximo paso va a ser de medio metro, porque la distancia que le falta recorrer para tener a Alizée es de un metro y la instrucción para él es bien clara: tus pasos siempre deben ser la mitad del terreno que te falta por recorrer.

3-infinito

Una vez que Pepito haya dado ese paso, habrá recorrido 1.5 metros, y estará sólo a medio metro de la bella Alizée. Entonces su paso siguiente será de 0.25 metros (1/4 que es la mitad de ½), es decir estará 1.75 metros del punto de origen y a 25 cm. de Alizée.
4-infinito

Los siguientes pasos de Pepito serán de 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256, 1/512, 1/1024… etc.

Para colmo de Pepito nunca va a llegar a su gran destino, no importa cuánto tiempo camine, porque a pesar de que siempre va a avanzar (lo que no es poco decir), sus pasos siempre se reducirán, y, por lo tanto, siempre quedará una distancia por recorrer, que aunque llegue a ser muy pequeña, todavía lo mantendrá alejado de Alizée. Imaginen el drama de Pepito, tratará de dar más pasos y estará cada vez más cerca de Alizée, podrá respirar el aroma de su piel, mas nunca podrá estar con ella. Veamos el posible acercamiento en la tabla inferior.

Como puedes notar, las sumas cada vez van siendo mayores (figura 1), y los resultados que se van obteniendo con estas sumas de los pasos de Pepito son cada vez más grandes, es decir, estamos construyendo una sucesión de números estrictamente crecientes. Pepito se logrará acercar tanto a Alizée como él quiera, pero nunca estará con ella porque tendría que caminar infinitamente y moriría antes de lograr su objetivo. Hay que recalcar que si camináramos infinitamente llegaríamos donde Alizée nos espera. Pero seamos realistas, nunca podremos estar con Alizée.

FIGURA 1

1 = 1 = 2-1 Camina un paso, es decir la mitad de dos. Está a un paso de ella.
1+1/2=3/2 = 2-1/2 Ha caminado un paso, y ahora camina medio más.
Está a medio metro de ella.
1+1/2+1/4 = 7/4 = 2-1/4 Ha caminado un paso, medio más y un cuarto de paso.
Está a 25 cm de ella.

1+1/2+1/4+1/8 = 15/8 = 2-1/8
1+1/2+1/4+1/8+1/16 = 31/16 = 2-1/16
1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 = 63/32 = 2-1/32
1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 = 127/64 = 2-1/64

Y así puede seguir la serie hasta el infinito.

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