Descubriendo el diseño en la naturaleza

Jorge Luis González Alanís
Lic. Matemáticas, UNAM, 2008
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DISEÑOS ENIGMÁTICOS EN LAS PLANTAS

¿Has notado que muchas plantas forman espirales al crecer? La piña por ejemplo, puede presentar ocho espirales de escamas en una dirección y cinco o trece en la dirección opuesta. Si te fijas en las semillas del girasol, tal vez veas cómo se hallan siempre dispuestas en dos conjuntos de espirales entretejidos, uno de los conjuntos en la dirección de las agujas del reloj, y el otro en la dirección inversa. El número de espirales en cada conjunto no es el mismo; se entrecruzan al menos cincuenta y cinco y ochenta y nueve espirales, o bien ochenta y nueve y ciento cuarenta y cuatro. Puedes encontrar espirales hasta en la coliflor. Una vez que empieces a distinguir este diseño en frutas y verduras, tu visita al supermercado te resultará más interesante. ¿Por qué presentan las plantas esta distribución? ¿Tiene alguna importancia la cantidad de espirales?

¿CÓMO CRECEN LAS PLANTAS?

La filotaxia (que es la disposición de las hojas sobre el tallo de las plantas) nos enseña que las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen al buscar siempre recibir el máximo de la luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce al seguir secuencias basadas en ciertos números que muestran como la naturaleza y las matemáticas están conectadas.

flor

fibonaci1En la mayor parte de las plantas, los nuevos tejidos u órganos –como los tallos, las hojas y las flores – se forman a partir de diminutos puntos de crecimiento llamados ‘meristemas’. Cada nuevo ‘primordio’ (el conjunto de células que da lugar a los órganos) surge del centro del meristema en una dirección distinta al formar un ángulo con el primordio anterior (figura 1). En casi todas las plantas, los nuevos tejidos crecen en un ángulo singular que produce espirales. ¿Cuántos grados mide dicho ángulo?

Ahora imagínate que quieres diseñar una planta en la que los primordios estén distribuidos alrededor del punto de crecimiento sin desperdiciar espacio, formando un conjunto compacto. Supongamos que decides que cada nuevo primordio crezca en un ángulo de dos quintos de una vuelta completa con respecto al primordio anterior. Tropezarías con el inconveniente de que, cada cinco primordios, se repetirían el punto y la dirección del crecimiento. De este modo se formarían hileras radiales, con lo cual se desperdiciaría espacio (figura 2). Lo cierto es que con cualquier fracción simple de una vuelta completa se obtendría el mismo resultado.

Solo el llamado ‘ángulo áureo’, de algo más de 137,5º, lleva a una distribución de los primordios lo más compacta posible (figura 3). ¿Qué tiene de especial este ángulo?

El ángulo áureo es el ideal porque no se puede expresar en forma de fracción simple de una vuelta. La fracción 5/8 = .625 se acerca a dicho ángulo, la fracción 8/13 = .615 se acerca más, y la fracción 13/21 = .619 más aún, pero no hay alguna que exprese con exactitud la proporción áurea de una vuelta completa. Por esto, si cada nuevo primordio nace en el mencionado ángulo fijo con respecto al anterior, nunca crecerá alguno exactamente en la misma dirección (figura 4). Eso explica que los primordios formen espirales, en lugar de hileras radiales.

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Resulta interesante que al hacer una simulación por computadora de una serie de primordios que parten de un punto central, sólo se generan espirales perfectas si la medida del ángulo entre los primordios es exacta. Basta desviarse del ángulo áureo una décima parte de un grado para que se pierda el efecto.

¿CUÁNTOS PÉTALOS TIENEN LAS FLORES?

Curiosamente, la cantidad de espirales que resultan del crecimiento basado en el ángulo áureo coincide por lo general con uno de los números de la serie conocida como secuencia de Fibonacci. El primero en describir dicha serie fue el matemático italiano del siglo XIII, Leonardo Fibonacci. En esta secuencia, cada número después del 1 es igual a la suma de los dos que lo preceden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc.

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En muchas flores con crecimiento en espiral, la cantidad de pétalos corresponde a un número de la secuencia de Fibonacci. Según algunos observadores, el Ranunculus septentrionales tiene cinco pétalos, la sanguinaria del Canadá ocho, el senecio amarillo, trece, el Aster subulatus veintiuno, algunas especies de margaritas treinta y cuatro y la septembrina cincuenta y cinco u ochenta y nueve. Numerosas frutas y hortalizas tienen características en las que se presentan números de la serie de Fibonacci. Por ejemplo, cuando se corta transversalmente un plátano, se ve con facilidad que cuenta con cinco lados.

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CONSTRUYAMOS UNA ESPIRALleonardodapisafibonaci2

Podemos construir una serie de rectángulos al utilizar los números de esta sucesión. Empezaremos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión. Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x 1. Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3 x 2. Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5 x 3, luego uno 5 x 8, 8 x 13, 13 x 21, …

Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1 x 1), pasan al rectángulo de dimensiones 2 x 1, al de 3 x 2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo. Si unimos los vértices de estos rectángulos se forma una curva: Es la espiral de Durero. Una espiral, que, de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes. Es decir, la espiral del crecimiento y la forma del reino animal. Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.

LEONARDO DE PISA, FIBONACCI (hijo de Bonaccio), publicó, en 1202, el Liber abaci, la primera suma matemática de la Edad Media. En él aparecen por primera vez en Occidente, las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas para realizar operaciones con estas cifras, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado. Sin embargo, Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

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