Imagen 1. Euclides. Detalle de la pintura: Rafael. La Escuela de Atenas (1510 – 1512).

Imagen 2. Pitágoras. Detalle de la pintura: Rafael. La Escuela de Atenas. (1510 – 1512).

Imagen 3. Gregor Reisch. 1503. Aritmética. El grabado representa a Boecio y Pitágoras en una competencia de agilidad numérica: ábaco versus números arábigos.

Problemática

Descripción general

No es un secreto que uno de los talones de Aquiles del sistema educativo mexicano radica en los fracasos de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; en cualquiera de sus niveles, aun en los más avanzados y especializados. En la mayoría de los diversos programas de estudios profesionales, las matemáticas se distinguen por congregar al mayor número de reprobados; incluso en aquellas disciplinas, como son las ingenierías, donde los estudiantes deberían tener una mayor sensibilidad y facilidad de comprensión hacia ellas. En particular, la licenciatura en matemáticas que ofrece la UNAM posee uno de los menores índices de terminación en la misma universidad. En los programas de humanidades, estudios sociales, e incluso artes, los cursos de matemáticas se convierten en filtros y cuellos de botella que impiden, a la gran mayoría de los estudiantes, proseguir con sus obligaciones académicas y graduarse.

 

Las matemáticas son odiadas por la gran mayoría de las personas que entran en contacto con ellas. De hecho, muchos jóvenes deciden, erróneamente, su vocación profesional con la esperanza de no volverse a encontrar con ellas. Para su desdicha, de una manera u otra, las matemáticas ahora forman parte de los programas académicos de casi cualquier disciplina, ya sea ésta derecho, medicina o sociología. Esta necesidad surge, entre otras, por la obligación de dominar la aplicación de paquetes estadísticos. Las matemáticas parecen ser ineludibles en el mundo de hoy.

 

Los resultados de los exámenes internacionales (Pisa) y de las estadísticas asociadas con éstos son alarmantes. México se encuentra en los últimos lugares de las listas respectivas. A nivel nacional, ni los maestros ni los alumnos acreditan las pruebas (e.g., Enlace, entre otros). Por tratarse de una materia lineal y acumulativa, las consecuencias negativas de esta falta de comprensión se retroalimentan de manera, aparentemente, cíclica e irremediable.

 

Desgraciadamente, este no es un problema nuevo, y tampoco exclusivo de nuestro país. En otras latitudes y en otros tiempos, las matemáticas han presentado graves problemas para su transmisión y entendimiento. La propia historia de esta disciplina muestra que lo poco que conocemos de Euclides, autor de los Elementos y, por ende, tal vez el matemático más influyente de todos los tiempos, es que sus alumnos, trescientos años antes de que iniciara nuestra era, se quejaban del porqué de la necesidad de aprenderlas. Aun si tomamos en cuenta únicamente las excepciones actuales (e.g., países asiáticos, Suiza y Finlandia, entre otros), es imposible, sencillamente, copiar, por completo y sin restricciones, recetas o metodologías que hayan sido parcialmente exitosas en otros países.

 

Cuando no se está profesionalmente entrenado para enfrentar la situación, se producen innovaciones que se limitan a cambios triviales de énfasis y presentación. Por ejemplo, existen casas editoriales que han concebido la introducción de diversos colores de tintas en la impresión del material didáctico como una verdadera aportación a la disciplina. Más grave, la mayoría de los autores de libros de texto ni siquiera intentan un estudio, aunque sea superficial, para tratar de identificar cuáles son algunas de las causas de las dificultades de la comprensión de cada materia. Algunas de estas intervenciones se convierten en modas pasajeras. Algún personaje, ya sea éste administrativo o académico, tiene una nueva corazonada (e.g., teoría de conjuntos, cálculo mental, habilidades y modelos, entre algunas otras), y el resto de la comunidad la adopta sin analizar las posibles repercusiones. Si no se han estudiado los escollos, es imposible proponer una metamorfosis que los supere.

 

Más importante, estas innovaciones no han dejado de pretender enseñar matemáticas técnicas per se. Pero, si los estudiantes únicamente las memorizaron para pasar sus cursos, es muy probable que las olviden para el fin de sus vacaciones. Invariablemente, al inicio de cada ciclo escolar, casi todo maestro se ve obligado a tener que repasar el contenido del curso anterior, con los obvios retrasos para su propia materia.

 

Innumerables intelectuales han reflexionado y propuesto soluciones a las dificultades que enfrentan un gran número de individuos. Tan preocupados están algunos, que ahora dedican tiempo completo a la solución de esta problemática. De hecho, incluso se podría aseverar que la matemática educativa, como una disciplina académica autónoma, se ha profesionalizado, en particular en los países académicamente desarrollados, a partir de hace un medio siglo, aproximadamente. Como muestra de este creciente proceso de profesionalización contamos ahora con la fundación de asociaciones y sociedades, reuniones especializadas, revistas de investigación y académicos formados específicamente para desarrollar investigación de frontera en esta disciplina.

 

Obviamente, dentro de este conglomerado de académicos han surgido muy diversos enfoques. Algunos de ellos han centrado sus análisis desde puntos de vista filosóficos, otros sociológicos, otros psicológicos, otros lingüísticos, otros pedagógicos, otros matemáticos, y aún otros históricos. Hay quienes han enfocado sus estudios en alguno de los diversos niveles educativos (elemental, medio, medio superior, etc.); hay quienes se han especializado en diversas ramas (aritmética, álgebra, geometría y cálculo, entre otras); hay quienes se han orientado sobre las diferencias de género buscando posibles explicaciones; hay quienes han fijado su atención en los diversos grupos generacionales (párvulos, niños, adolescentes, etc.); hay quienes se apoyan en juegos de las matemáticas lúdicas para enseñar; y, obviamente, existe un gran número de ellos que analizan y aplican el uso de las nuevas tecnologías. Todos estos enfoques aportan su grano de arena a esta gran problemática pero, de igual manera, todos tienen limitaciones. A manera de ejemplo de algunas de las posibles dificultades a encontrar, comentemos, brevemente, debido a la limitación de espacio, únicamente sobre una de estas facciones.

 

Una de las orientaciones más populares es la histórica. Hay quienes se han acercado al pasado en sus intentos por encontrar una solución al problema. Aparentemente, la vinculación entre la historia y la pedagogía de las matemáticas es muy estrecha. Para ilustrar ciertos conceptos matemáticos es muy común mirar hacia el pasado, con el propósito de entender cuáles fueron los orígenes de ciertas nociones matemáticas. Una de las primeras preguntas que, comúnmente, saltan a la mente de cualquier matemático es cuestionarse por el origen de alguna idea: ¿A quién se le ocurrió primero? ¿Cuándo y dónde apareció? ¿Qué problema se proponía resolver? Si uno ve más allá de la simple cronología, entonces se analizan los problemas, herramientas y soluciones con las que contaban los antepasados.

 

Desgraciadamente, una gran mayoría de los especialistas en matemática educativa carecen de una formación profesional en la historia de las matemáticas. De la misma manera que el público general mal concibe las matemáticas como disciplina profesional, el pedagogo y el matemático también desconocen la práctica de la historia como rama académica. En primera instancia, confunden el arte de hacer historia, reconstruir el pasado, con simples listas cronológicas. Es como confundir un esqueleto humano, con un individuo vivo. Así cómo el público general concibe a un matemático como aquel que es ágil con los números; de la misma manera percibe a un historiador como aquel que es hábil para memorizar fechas. Ambas imágenes son caricaturas. Así, es posible encontrar libros de investigación en matemáticas donde los únicos números que contienen son los correspondientes a la numeración de las páginas; de la misma manera es posible encontrar libros de investigación en historia donde la única fecha que contienen es la de la publicación de esa edición. En resumen, confunden cronología y narrativa (e.g., mitos y leyendas, entre otros), con el fin de reintegrar el pasado. Generalmente, estos académicos producen estudios retrospectivos que no necesariamente simplifican la comprensión de las matemáticas. En primer lugar, no siempre es posible tener acceso a las fuentes originales, y cuando éstas se localizan, en ocasiones, es extremadamente difícil leerlas y entenderlas. En la vasta mayoría de los casos resulta más complicado entender las matemáticas del pasado.

 

Además, en segundo lugar, se tiene consciencia de la poca aplicabilidad que tienen, en la enseñanza de las matemáticas elementales, algunos de los ensayos y discusiones que se vierten en las páginas de las revistas especializadas en historia, filosofía y pedagogía de las matemáticas. En la mayoría de las ocasiones, el colega no especializado difícilmente puede aplicar lo aprendido en su práctica cotidiana. También existe el temor obvio de complicar aún más los procesos si se supone que los alumnos, además de aprender matemáticas, ahora tienen que memorizar un sinnúmero de datos. Éstas, entre muchas otras, son algunas de las variadas y complejas dificultades que presenta este patrón.

 

Independientemente del modelo elegido, los académicos tienen claro que las dificultades son de tal envergadura que ningún enfoque podrá resolverlas todas; y, los resultados obtenidos, al día de hoy, son muy poco alentadores. Por lo mismo, entre mayor sea el número de las opciones, mejores resultados se podrán obtener, aunque éstos sean parciales.

 

Más grave aún es el factor que la mayoría de los educadores interesados en esta problemática son matemáticos profesionales, y es lógico pensar que ellos fueron parte de aquellos afortunados que no tuvieron dificultades para entenderlas cuando eran menores, aunque lógicamente deben existir excepciones que confirmen la regla. Un gran número de estos individuos no sintieron en carne propia la frustración y desesperación de no entender de qué demonios hablaba el maestro; y, por lo mismo, son insensibles a los sentimientos de otros menos afortunados. De hecho, es curioso hacer notar que algunos de los libros de divulgación de las matemáticas más exitosos, que se han publicado recientemente, fueron editados o escritos por no matemáticos (e.g., Hans M. Enzensberger. El diablo de los números. Madrid: Siruela.1997).

 

Como ya mencionamos, en los cursos tradicionales de matemáticas, normalmente el estudiante es enfrentado, directamente, con conocimiento técnico que está obligado a manipular y operar. Si existe algún tipo de prejuicio o laguna previa por parte del iniciado, independientemente de sus razones y orígenes, difícilmente podrá seguir adelante. En sus libros de texto tampoco encuentra apoyo. La gran mayoría de estos, inadvertidamente, están escritos para el maestro, no para el alumno. Los escolares, por generaciones, se han visto orillados a estudiar en apuntes tomados en clase, que invariablemente están incompletos y con errores.

 

A lo largo del tiempo, las matemáticas se han mostrado desde un punto de vista técnico, donde al alumno se le sugiere que únicamente sirven para medir y calcular. Por lo mismo, cuando el alumno no percibe la necesidad de usarlas, perennemente cuestiona la necesidad de estudiarlas y pregunta sobre su aplicabilidad y uso. De manera directa, cuestiona la urgencia por dominarlas. Y eso que el alumno desconoce que los programas de estudio, a partir del siglo XIX, están diseñados básicamente para producir ingenieros, ¡habiendo tantas opciones, sobre todo en el mundo de hoy!

 

Además, el proceso pedagógico, incluso de manera subliminal, se apoya en el dominio y uso del método axiomático deductivo; aquel que permite construir y derivar las proposiciones matemáticas, a partir de unos cuantos principios y premisas lógicas. De hecho este es el diamante en bruto del que presume la disciplina. Este procedimiento ha sido alabado por generaciones e imitado por otras disciplinas. Pero es necesario advertir que la gran mayoría de los maestros de los niveles básico y medio desconocen el por qué, para qué, cuándo, cómo y quién descubrió dicho sistema y sus implicaciones técnicas y filosóficas.

 

Más grave aun, el uso de este proceso impone condiciones aparentemente infranqueables para el alumno: la aceptación de dogmas (i.e., axiomas o postulados) que parecen ser tomados de un tratado filosófico dirigido a lectores de un pasado muy remoto; la memorización de definiciones de objetos que parecen solo existir en un universo totalmente abstracto, ajeno a la realidad; el aprendizaje de un nuevo lenguaje (simbología), aparentemente sin regla alguna, que describe y regula las relaciones entre estos objetos inmateriales; y, por si eso no fuera suficiente, continuamente se examina al lector mediante la resolución de problemas técnicos asociados con estos mismos objetos.

 

En la mayoría de los casos, parecería que se inculcara un nuevo lenguaje extraño, abstracto, carente de sentido. Sólo los ‘mataditos’ y segregados del salón encuentran algún placer o se refugian en ella. De manera ya ancestral, la enseñanza de las matemáticas ha sido deshumanizada, a tal grado, que los estudiantes no conocen o asocian nombre de persona alguna al material que han asimilado, con excepción, tal vez, del nombre de Pitágoras.

 

Posibles orígenes de la problemática

A diferencia de otros enfoques, proponemos, en primer lugar, analizar y conocer los orígenes de las dificultades. Si queremos arrancar la mala hierba, la debemos eliminar desde sus raíces, de otra manera reaparecerá tarde o temprano y, tal vez, con mayor fuerza. Debemos reemplazar el lienzo por completo; hasta ahora nos hemos dedicado a parchar, con diversos materiales, con diferentes tipos de agujas y con distintos hilos por lo que no hemos podido reconstruir el paño de una manera lisa, uniforme y continua. Si no cambiamos el patrón, la tela se seguirá rasgando. Es fundamental comenzar desde el inicio con el mismo pliego. Si la gran mayoría de los miembros de la comunidad tiene dificultades para comprender las nociones básicas y luego aplicarlas es porque tomamos el camino erróneo. Es necesario aceptar que nos equivocamos de prototipo, al menos, para enseñar al nivel básico.

 

Pero, ¿cuál es el utensilio que hemos usado de manera incorrecta? ¿Qué herramienta de la enseñanza de las matemáticas es común a lo largo del tiempo y a lo ancho de las diversas culturas? La única en la que podemos pensar es en la obra de  Euclides, la base de nuestro paradigma de enseñanza. En el primer capítulo, apoyado en el ya mencionado método axiomático deductivo, Euclides desarrolla, paso a paso, el contenido tradicional de un curso elemental de geometría plana, que concluye con la demostración de la proposición pitagórica y su inverso. Esta monografía se tomó como el modelo ideal para enseñar, en particular, la geometría elemental. A partir del siglo XVI, como consecuencia de su traducción a lenguas vernáculas, los filósofos naturales la estudiaron con sumo cuidado y la usaron para entrenar a sus aprendices. En la Europa del siglo XIX, cuando la educación se había generalizado, su influencia fue de tal magnitud que sus distintas ediciones se cuentan por cientos. El sentido común dicta que si este material se usa actualmente como un libro de texto, entonces, previamente, así debió haber sido usado siempre.

 

Obviamente la gran mayoría de los autores contemporáneos negarían haber sufrido dicha influencia o adoctrinación. Es muy probable que jamás lo hayan leído; algunos podrán asegurar que ni siquiera lo han visto en alguna ocasión. Lo que es aun más grave, pues ignoran de dónde preceden las influencias que los dominan. Pero es importante recalcar que la hegemonía de dicha obra ha permeado a las matemáticas por completo y que la mayoría de los libros de texto de las diversas ramas de esta disciplina han sido compuestas con el mismo molde, al menos desde el siglo XVI hasta nuestros días.

 

Afirmamos que el origen de las dificultades se encuentra precisamente en haber adoptado como libro de texto los Elementos de Euclides. Dos de los errores son  fundamentales y trascendentales. Primero, si en realidad Euclides conceptualizó una obra de texto, ésta definitivamente no estaba dirigida a estudiantes inexpertos o bisoños. Fuentes históricas originales señalan que a las academias y liceos de aquel entonces asistían, por lo general,  intelectuales mayores de dieciocho años. En esos lugares se reunía la crema y nata de los intelectuales. Eran, de acuerdo a los estándares de la época, filósofos profesionales. Euclides debió haber discutido su obra con dicho público y se preocupó para que estuviera adecuada a su nivel de comprensión.

 

En segundo lugar, igualmente importante, el día de hoy, filósofos e historiadores de las matemáticas han cuestionado que se trate en realidad de un libro de texto. Se dice que era una obra de investigación que pretendía resolver problemas de frontera de aquel entonces, relacionados con cantidades inconmensurables, que aún producían dolores de cabeza. Este era un tratado de investigación dirigido a esos colegas profesionales.

 

En breve, adoptamos como modelo a seguir, un tratado sumamente complejo, tanto en su concepción como en su contenido y lo hemos intentado adecuar, infructuosamente, para que sea dirigido a un público infantil. Es obvio que esta audiencia no está preparada para comprender el significado de los axiomas o postulados; como tampoco es suficientemente madura para entender las definiciones de objetos que no existen en la realidad; como tampoco está en edad de dominar un lenguaje simbólico que llevó siglos concebir y desarrollar.

 

Lo anterior explica porque, después de más de dos mil años, los alumnos todavía se cuestionan para qué sirve lo que estudian. Si alguien ya hubiera formulado una respuesta adecuada, los maestros ya la hubieran copiado y los discípulos ya la conocerían. Pero, ¿para qué estudio álgebra, si en la vida práctica nunca tendré la necesidad de plantear un sistema de ecuaciones y menos resolverlo? La situación se complica todavía más con la complicidad de los tutores, ya que estos ignoran la relevancia y finalidad de lo que enseñan. Los maestros invariablemente ponen atención en los resultados numéricos y pierden de vista que a través del estudio de las matemáticas los individuos aprenden a: analizar, abstraer, sintetizar, modelar, deducir, valorizar, organizar, resolver y estructurar, entre otros. Por supuesto que es importante aprender a graficar y a interpretar ciertas fórmulas; pero, por poner atención en un árbol, se pierde de vista el bosque que lo rodea.

 

Otro error gravísimo de la pedagogía de las matemáticas es que en los inicios de los cursos al alumno no se le explica qué se le va a enseñar, cuál es el objetivo del curso, cuáles son las premisas que son necesarias, cuáles son las herramientas que le es permitido usar y por qué camino va a transitar. Si el maestro, de vez en cuando, resumiera qué es lo que ya han estudiado, qué es lo que aun les hace falta analizar y qué herramientas se requieren para lograr dicho objetivo, entonces el alumno estaría consciente de la necesidad de lo que ha aprendido. Pero, el alumno siempre navega a ciegas. 

 

Pero, más grave aún, el fracaso de la didáctica de las matemáticas inmediatamente contamina los procesos de enseñanza y aprendizaje de otras disciplinas, en particular, las más cercanas a ellas como son las ciencias naturales. No se pueden comprender éstas, si el lenguaje en el que se expresan es ignorado.

 

En conclusión, tenemos que desatender el arquetipo que adoptamos y concebimos como el ideal para ciertos niveles. De hecho, para crear un gran avance, en este caso en la pedagogía de las matemáticas, es necesario superar dicho paradigma y sustituirlo por uno que resuelva algunos de los problemas actuales. Los resultados de las evaluaciones muestran que este no es el prototipo ideal, al menos para los estudiantes del nivel básico, y debe de ser, definitiva e inequívocamente, abandonado.

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