Un clásico, los Elementos de Euclides

Alejandro R. Garciadiego
Lic. Matemáticas, UNAM, 1977 PhD. Historia de las Matemáticas, U of Toronto, 1983 gardan@unam.mx
Resumen

En este primer ensayo, el objetivo es introducir al lector a la obra matemática más representativa de todos los tiempos, los Elementos de Euclides. Sin entrar en tecnicismos, nos preocupa discutir cuál fue el posible propósito de dicho texto, así como presentar algunos de los componentes que conforman una breve semblanza del autor. El enfoque es esencialmente histórico por lo que es factible analizar ciertas ideas y conceptos fundamentales sin recurrir a lenguaje técnico, ni simbología abstracta, ni operaciones repetidas mecánicamente. Más importante aun, en este ejemplo en particular, se discuten, a través de la conversación entre dos jóvenes, algunos elementos fundamentales de la metodología matemática.

Palabras Clave: Matemáticas, enseñanza, geometría, Euclides, Elementos
Msc: 00A06, 00A35, 97C80
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A la edad de once años empecé a estudiar geometría, teniendo
como preceptor a mi hermano. Fue uno de los grandes acontecimientos
de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor. Jamás
había imaginado que pudiera haber algo tan delicioso en el mundo.
Bertrand Russell

Hasta los 40 años [Hobbes] no se interesó por la Geometría, hecho
que ocurrió por accidente al hojear casualmente en una biblioteca
un libro de los Elementos de Euclides, abierto por la Proposición I.47.
J. Aubrey

Antes de que la Santa Geometría cayera en mis manos, un tío
me había contado, a los 12 años el Teorema de Pitágoras. […].
Es maravilloso que un hombre como Euclides sea capaz de alcanzar
tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento.
Albert Einstein

Este maravilloso libro [los Elementos de Euclides] ha sido, es y será
el libro de texto de Matemáticas más grande de todos los tiempos.
Sir Thomas L. Heath

Euclides es el autor del texto de Matemáticas de éxito más fabuloso
que se haya escrito nunca. […]. Los Elementos de Euclides es la más
famosa obra matemática de la Historia. […]. No sólo fueron la primera
obra matemática griega de importancia que ha llegado hasta nosotros,
sino también el libro de texto que ha ejercido una mayor influencia de
todos los tiempos. […]. Fue uno de los primerísimos libros matemáticos
que se imprimió; se estima que desde entonces se han publicado más
de un millar de ediciones. Ningún libro, salvo la Biblia puede jactarse
de haber tenido tantas, y desde luego ninguna obra matemática ha
tenido una influencia comparable.
Carl. B. Boyer.

Los Elementos de Euclides ha sido durante 2300 años un documento
insuperado. Como toda obra maestra puede ser leído una y otra vez,
suministrando nuevos aspectos del genio de su creador. Aún hoy, estos viejos
escritos constituyen una fuente ilimitada de goce para los que disfrutan con la
ingeniosidad y el artificio de un argumento matemático elegante.
William Dunham.


– Hola, Ana.

– ¿Tienes tarea, hermanito?

– Sí, pero parece ser que está muy fácil. Esta vez el profe de matemáticas no nos dejó ejercicios o problemas que involucren operaciones y números; y, además, no tenemos que entregarla por escrito, sino que vamos a discutirla en clase. Nos pidió que hiciéramos una pequeña investigación. ¿Te imaginas? ¿Investigar en matemáticas? ¿Qué loco, no? Nunca lo había hecho.

– Supongo que te tienes que poner a buscar en libros y enciclopedias

– Te digo que no creo que esté muy difícil. No creo ni necesitar libros.

– Ok, pero dime, ¿de qué trata la tarea?

– Nos dijo que investigáramos qué quiere decir la palabra elemento.

– Aparentemente, está muy fácil. Da la impresión, como tú dices, que ni siquiera necesitas consultar libros pues en clase de química no únicamente ya te explicaron qué es un elemento sino que, incluso, te han pedido que estudies dónde se localizan éstos en la tabla periódica.

– Cuando salí de la escuela, pensé exactamente lo mismo que tú y hasta me burlé del maestro. Pensé que el profe era muy burro, pues no sabía que ya nos lo habían explicado en otra materia y que no tendría que hacer esfuerzo alguno, pues ya sabía de qué se trataba.

– ¿Fue el maestro de matemáticas? Oye, yo creo que no oíste bien lo que te pidió que investigaras. Lo más probable es que él te haya dicho que buscaras lo que significa la palabra elementos, en plural. Es una de esas situaciones donde considerar más de uno puede hacer diferencia. En la mayoría de las ocasiones, cuando usas el plural es porque te refieres a varios objetos de una misma cosa. Por ejemplo, la diferencia entre una canica y varias canicas es únicamente la cantidad. Tampoco es lo mismo tener un peso que varios pesos. Pero, en ambos casos, la cosa canica o peso sigue siendo la misma. La única diferencia es la cantidad.

– ¿Qué? A poco hay mucha diferencia entre las palabras elemento y elementos.

– ¿Por qué no ves en un diccionario por ti mismo?

– Ok. Mira, aquí hay una definición que dice: «Elemento: Parte de una cosa que puede ser percibida o analizada independientemente de las demás partes constitutivas de esa cosa».

– ¿La entiendes?

– Ni palabra, pero no hay problema, me la aprendo de memoria.

– Oye, no, no hagas eso. Lo que memorizas se te olvida algún día, lo que comprendes lo entiendes para siempre. ¿Te acuerdas que cuando ibas en sexto de primaria te aprendiste de memoria todas las ciudades capitales de Europa? Te apuesto que si te pregunto algunas ahora, ya se te habrán olvidado muchas y apenas han pasado un par de años.

Me quedé callado pues el otro día que veía un partido de fut por la tele, el comentarista mencionó de qué país era uno de los equipos y ya se me había olvidado su capital. Pero, para salir del problema que le pregunto.

– ¿Tu si entiendes qué es eso de percibida y constitutiva?

– Oye, la tarea es tuya. Si no entiendes, entonces tienes que buscar en otro libro a ver si contiene otra definición más sencilla o que esté redactada con otras palabras. Mi mamá tiene, en la sala, un diccionario muy sencillo.

– Sí, mira. Aquí está esta otra definición. “Elemento: componente unitario de una serie”.

– ¿Ahora, si la entiendes?

– No, tampoco.

– A ver, trata de recordar y razonar lo que sabes de química. Ahí te dijeron que un elemento es algo que ya no puede ser dividido o descompuesto en partes más pequeñas. Esto es más sencillo de aprender y además te dieron varios ejemplos. Me acuerdo que el maestro les comentó en aquella ocasión que los elementos que componen el agua son el hidrógeno y el oxígeno. Pero, para que comprendas mejor, copia las dos definiciones que no entendiste en un cuaderno, e independientemente de la discusión en clase, pídele al maestro que explique los dos enunciados. Pero, aún no has visto si existe alguna diferencia entre las palabras elemento y elementos.

Tomé de nuevo el diccionario. La palabra elementos seguía inmediatamente. Pensé, antes de leer, que iba a decir algo así como: «Elementos de química. Cosas que ya no pueden ser divididas en partes más pequeñas». Pero mi sorpresa fue que decía algo muy diferente. Leí: «fundamentos, nociones, primeros principios de una disciplina». Debí haber puesto cara de que no entendía, porque Ana entró inmediatamente al rescate y me explicó que cuando los científicos descubren resultados novedosos – y aquí sí me sirvió de algo la tele pues en ocasiones veo el canal Discovery y te comentan de cosas nuevas como los hoyos negros, cirugía microscópica, orígenes del hombre y otras cosas- , no necesariamente lo hacen en orden. A veces descubren una cosa primero, y después descubren otra que hace más fácil comprender la anterior y así se van. Ana me comentó que, en el caso de los números que usamos, el hombre tardó mucho tiempo en encontrar una manera adecuada de representarlos. Para subrayar su punto me dijo: «alguna vez has tratado de multiplicar números romanos. Inténtalo». También me comentó que después, sobre todo para enseñar, es necesario ordenar las ideas y me explicó que lo lógico es ir de lo más sencillo a lo más complejo. Y me puso como ejemplo la primera definición de la palabra elemento que encontramos en el diccionario. Me dijo: «No la entendiste, ¿verdad? Si no entiendes la primera explicación, pues no vas a entender lo que sigue. Así que también aparecen personas que dicen: ‘Bueno, ahora vamos a simplificar y ordenar todo’. Y es cuando entonces tratan de encontrar cuáles son las primeras ideas – en el diccionario decía principios- o las más básicas”».

– Oye, Ana, pero ¿a quién se le ocurre pensar en esas cosas?

– Pues  a los científicos y a los filósofos. Es más, la mayoría de los que trabajan en universidades están interesados en esas cosas y además ahora lo hacen en grupo y son de especialidades diferentes. Es como un equipo de fut, debe de estar balanceado: si todos los de tu equipo quieren jugar de portero o de centro delantero, pues vas a tener problemas. No vas a tener defensas y te van a meter muchos goles.

–   De cualquier manera, gracias. Ya acabé la tarea.

– Pero, encontrar el significado de la palabra no es lo importante. Ya te preguntaste: ¿Por qué te dejó el maestro esa tarea? ¿Qué fue lo que aprendiste con ella?

– Pues que el significado de dos palabras muy similares puede ser muy diferente.

– Yo creo que tu maestro es mucho más listo de lo que crees. De nuevo, ¿fue tu profesor de matemáticas, no? Lo lógico es que esta pregunta te la hubiera hecho la maestra de química. Lo que ahora tú tendrías que preguntarte es por qué te pidió que buscaras dicha palabra.

– No, pues ni idea.

Entonces Ana me dijo que si hubiera buscado con más empeño y no me hubiera quedado satisfecho con acabar lo más pronto posible, que lo más probable es que me hubiera encontrado que en matemáticas existe un libro que se llama: Elementos.

– ¿Es qué los matemáticos les copiaron a los químicos y ahora también ellos usan la palabra?

– No seas ingenuo. No se trata de quién le copió a quién. Acuérdate que la palabra elementos no se refiere necesariamente a química. En el plural alude a los conceptos o ideas más fundamentales o más básicas de cualquier disciplina. Mira, pon de ejemplo el ajedrez. ¿Qué es lo más básico? Pues, conocer los movimientos de las piezas. De otra manera, no tienes ni como comenzar. Todos los juegos tienen reglas y, generalmente, entre más sencillas, son más divertidos de jugar. ¿Has visto en el ajedrez como se mueve el caballo? Para el que no sabe y ve que lo mueves, primero dos cuadros para adelante y después un cuadro de lado, o un cuadro para adelante y después otro en diagonal va a pensar que le haces trampa. Yo veo que en el periódico vienen resumidas las partidas entre los campeones, pero si no te sabes cómo se mueven las piezas, pues no puedes entenderlo.

– Ok. Pero, no te enojes. ¿Cuál es ese libro que dices y por qué quiere el maestro de mate  que  lo encontremos?

– El libro es un clásico.

– ¿Cómo los Beatles?

– Sí, como los Beatles. Solo que este grupo musical es un clásico moderno, pues ellos empezaron a tocar música hace relativamente muy poco, creo que en los años sesenta.

– Sí, pero ahora parece ser que a todos les gustan. A mí, la verdad, no todos los clásicos me gustan. Por ejemplo, mamá dice que los verdaderos clásicos son mucho muy anteriores, como de los siglos XVIII y XIX. ¡Imagínate más de cien o doscientos años! Cuando ella pone sus cedés o la estación de radio en el coche, me aburro. Cada pieza dura más de veinte minutos y son casi siempre instrumentales. Además, y creo que es lo más importante, nada de eso se puede bailar.

– Incluso con el ejemplo que me diste de los Beatles te puedo decir que no a todo mundo le gustan todas sus canciones. La gente disfruta más las rolas que son sencillas de melodía y letra. Pero, cuando se hacen más sofisticadas, como en el disco blanco doble, a la gente le gustan menos.

– Sí, pero insisto. Yo no soy mucho de eso de los clásicos. Aquí mismo en la escuela, cuando otros profes nos han dado a leer de esos libros, no los disfruto. De hecho, creo que nunca he terminado uno. Me acuerdo que hemos tenido que leer obras de Platón y Cervantes, entre otros, y, la verdad, a veces no entiendo ni las palabras que usan. Generalmente, no comprendo qué es lo que quieren decir. Honestamente, no sé ni por qué les dicen clásicos.

– Mira la mayoría de las actividades del hombre tienen obras que se pueden considerar clásicas. Por ejemplo, en pintura todo mundo habla de la Mona Lisa; en escultura la gente menciona obras de Miguel Ángel, ya sea La Piedad o El David. En literatura tú ya mencionaste a Cervantes y supongo que te referías al Quijote; y seguro que el libro que te hicieron leer de Platón era alguno de sus diálogos. Y te puedo seguir mencionado obras o tratados. Por ejemplo, el individuo que revolucionó la astronomía se llama Copérnico. Esto de seguro no lo sabes, pero una obra importantísima en fisiología se llama La Fábrica del Cuerpo Humano y su autor se llama Vesalio. Fíjate que curioso, estos dos últimos publicaron sus libros exactamente el mismo año, 1543.

Imagen.9.Pag. 486.Portada.El_ingenios o_hidalgo_don_Quijote_de_la_Mancha

Imagen 3. Portada facsimilar de la primera edición de El Ingenioso Hidalgo Don Quijote de la Mancha de Miguel de Cervantes Saavedra (1605).

– ¡Uy!, ya salió el peine. De seguro son trabajos que, si nos los dejaran de leer en la escuela, no entenderíamos algo. Ya sabes, usan palabras muy viejas y rebuscadas. Te aseguro además que son trabajos larguísimos que, aunque quisiéramos, no podríamos terminar.

– Si, en algo estoy de acuerdo contigo. Te aseguro que ya casi nadie lee ese tipo de trabajos, pues siempre se escriben cosas más modernas y que tratan problemas actuales, como el calentamiento global u otras cosas.

– Ya ves. Te lo dije. No hay porque leer a los clásicos.

– No, ahí si te equivocas. Es como si me dijeras que ya no hay que ver a la Mona Lisa o el David. Estarías loco si no lo haces. No. Yo sí estoy de acuerdo contigo en que hay muchos libros, sin necesidad de que sean clásicos, que son difíciles de leer. Pero, los verdaderos clásicos sí se siguen leyendo, porque nunca dejamos de aprender de ellos.

– Bueno, sí; tal vez exageré. Pero, no me puedes negar que ese tipo de libros sólo le interesan a viejitos, con el pelo completamente blanco y con lentes que parecen lupas. Me los imagino en el sótano de alguna biblioteca rodeados de libros viejos y tomando notas como locos, además despeinados y con las uñas largas; ¡ah!, y con un aspecto muy sucio.

– ¡Uy hermano, ya no veas tanta televisión! Los Elementos es un clásico viejísimo. Se escribió antes de que naciera Cristo; o sea, que tiene más de dos mil años.

– Te aseguro que nadie lo entiende.

– Por el contrario, este es un libro que se estudia mucho; pero no la versión original. Existen muchas adaptaciones y traducciones. Algunos creen que, después de La Biblia, es el libro que más veces se ha editado.

– Entonces, ¿por qué no lo conozco? He visto muchas Biblias, pero jamás una copia de los Elementos.

– Todos los que hemos estudiado geometría plana, ya sabes, eso de las áreas de triángulos y rectángulos, lo hemos hecho en un libro de texto parecido a los Elementos.

Vaya, pues ese tipo se debió hacer muy rico. Es como el libro ese de álgebra, el que tiene un árabe – ahora los gringos les dicen ‘terroristas’- en la portada.

– ¿El Baldor?

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Imagen 5. Al—Khwärismī (ca. 780-850).

– Ese. Te aseguro que el autor debe ser muy rico; pues, cada vez que voy a una librería, me encuentro columnas enteras de ese libro. Se debe vender muchísimo.

– Sí, pues ahora sí tienes razón. El libro se vende mucho, pero el autor no se hizo rico. Después te cuento. Pero, ese es el caso contrario del autor de los Elementos. Él, aun antes de escribir su libro, debió haber sido muy rico; pues en esa época únicamente los que tenían mucho dinero se podían dar el lujo de no trabajar.

– Pues, igual que ahora, ¿no?

– Sí, pero este hombre hasta esclavos tenía.

– No, ¿en serio?

– Te digo que, aunque no me creas, hay cosas muy interesantes relacionadas con este libro.

– ¿Cómo cuáles?

– Fíjate lo que parece ser un absurdo. El libro ha sido muy exitoso y los que estudian y discuten estas cosas aún no saben para qué fue escrito.

– ¿Cómo va a ser eso? Pues, ¿qué?, el tipo, ¿no lo dice? Mi mamá siempre me ha comentado que para entender un libro siempre tengo que averiguar primero cuál es su objetivo, o para qué sirve. Normalmente un autor lo dice en un prefacio o en una introducción.

– Sí, ya lo sé. Pero este libro no tiene introducción, ni prefacio; bueno, ni siquiera tiene una dedicatoria. Cuando lo abres te encuentras directamente con una bola de definiciones.

– Y, tú, ¿cómo lo sabes?

– ¡Ah!, porque resulta que tengo una copia del libro; aunque está incompleto, en la versión que tengo vienen sólo los primeros cinco capítulos, y, en realidad, son trece.

– ¡Uy, que mala onda! Pero, a ver, dime: ¿cómo es que gente muy inteligente y, sobre todo, durante tantos años, no se ha puesto de acuerdo en para qué fue escrito el libro?

– Mira, unos dicen que era un libro de texto, y suena obvio, porque ahora así se puede usar. Pero también es absurdo que supongamos que estas personas pensaban exactamente igual que nosotros.

– Pues, ¿qué tiene eso de raro?

– ¿Cómo, que qué tiene de raro? Imagínate, entre la forma de pensar tuya y de papá hay un abismo y sólo existen veinticinco años de diferencia: no hablan igual; no se visten igual; no tienen los mismos gustos; bueno, hay temas que ni se discuten. Ahora piensa en sujetos que vivieron hace más de dos mil años. Te aseguro que si te transportaras a esa época no entenderías ni la forma de hablar, ni costumbres, ni nada. Oye, además la escuela de aquel entonces era bien distinta a la nuestra. Para empezar, ahí no había niños; eran puros adultos. Es claro que no se enseñaba de la misma manera. Yo creo que ni siquiera existían los pizarrones y las tizas. Los métodos de enseñanza tendrían que haber sido muy distintos.

– Tienes razón. ¿Alguna vez te has imaginado cómo sería haber vivido en esa época, o en cualquier otra? Cuando veo esas películas de gladiadores sí he llegado a pensar que, a lo mejor, yo no me atrevería a clavarle mi espada a otro ser humano. Cuando los ves que atacan en las batallas, piensas: «estos tipos sí que eran valientes».

Imagen 6. Lavoisier (1743-1794), motivado por la obra de Euclides, se le considera uno de los fundadores de la teoría moderna de la química al introducir métodos cuantitativos para medir con precisión los cambios en las reacciones entre los elementos.

Imagen 7. Benedictus Spinoza (1632-1677) afirmaba que el conocimiento debía partir de una serie de premisas indudables para, a través de un procedimiento lógico, deducir las consecuencias. Tomó como modelo los Elementos de Euclides para escribir su obra cumbre Ética (1676).

– Pues, como te decía, algunos dudan que haya sido un libro de texto. Otros creen que fue escrito como si fuera una enciclopedia. Ya sabes, como las que consultamos regularmente para hacer nuestras tareas. Supuestamente ahí viene todo. Esos individuos dicen que ahí estaba todo el conocimiento matemático de aquella época. Pero, también hay otros que dicen que no, ya que se sabe que había otras cosas en matemáticas y que no estaban contenidas en este libro. Otro académico bien listo, que desgraciadamente murió muy joven, dijo que era un libro de investigación dirigido a otros matemáticos y filósofos igual de competentes que el autor. Pero, tampoco pudo convencer a todos los estudiosos.

– No, pues la verdad es que está muy difícil. Imagínate, ¡convencer a todos! Ni que fuera mago.

– Pues, sin querer, le diste en el clavo. Supuestamente este libro está tan bien escrito, que, todos los que lo conocen, están de acuerdo que es importantísimo leerlo. ¿Te acuerdas que hace rato me habías dicho que si los matemáticos le habían copiado a los químicos en el uso de la palabra elementos? Pues, fue al revés. Lavoisier, otro profesor que escribió un libro que también ahora es muy famoso, copió la estructura de los Elementos para usarla al escribir el suyo. Él no ha sido el único. Si buscas en la red, aparecen otras obras que usan la misma palabra, incluso en el título. Y todos copiaron del trabajo de matemáticas pues ese, como también te dije hace rato, fue escrito hace más de dos mil años y los otros fueron publicados mucho después.

– Hasta ahora no me has dicho como se llama el autor.

Imagen 8. Desde la antigüedad, dos anécdotas se han perpetuado en torno a la personalidad de Euclides. La primera de ellas narra que, en alguna ocasión en que se enseñaba matemáticas, un joven adinerado le cuestionó en torno a la utilidad, posiblemente material, de dichos estudios. El relato afirma que Euclides se dirigió a uno de sus propios esclavos y le indicó que le entregara unas monedas a dicho estudiante, ‘ya que él requería obtener algún beneficio económico de lo que estudiara’.

Imagen 9. Se dice que, en otra ocasión, Euclides impartía clases de geometría al Rey Ptolomeo I y que este último inquirió si no existiría un camino más fácil para estudiarla y entenderla. Ya que Ptolomeo era el Rey, bien podría concebirse un trayecto especial. Pero la respuesta de Euclides, además de negativa fue parca.

– ¡Ah! El tipo se llamaba Euclides. Suena chistoso. Yo no conozco a nadie que, actualmente, tenga ese nombre. Es increíble, al paso del tiempo, hasta los nombres pasan de moda. Es como las fotos. No importa si las acaban de imprimir, con verles el peinado o las ropas a las mujeres, te das cuenta inmediatamente que la foto es muy vieja. Pero, ¿sabes que es lo más increíble?
– No, ¿qué?

– Pues que de este Euclides no estamos enterados de casi nada. No sabemos ni cuando nació, ni cuándo murió. No sabemos quiénes fueron sus padres, ni si se casó y si tuvo hijos. Tampoco conocemos el nombre de su esposa, si es que tuvo una o varias. Creo que de él no tenemos un solo dato biográfico. Se calcula, más o menos, cuando circuló su obra, por los comentarios que aparecen en otros libros. Es más, durante muchos años se leconfundió con otro Euclides, uno que había nacido en la localidad de Megara. Bueno, sí se sabe que escribió otros libros de matemáticas. Algunos se conservan hasta nuestros días, pero de otros nada más sabemos que existieron porque otras personas los discutieron o comentaron. Así como se confundió su nombre por una época, también se mezcló el contenido del libro. Unos llegaron a pensar que tenía catorce capítulos y otros hasta quince.

Imagen 10. Reproducción de un folio de una edición francesa de los Elementos donde se enuncian las definiciones del libro XIV. En algunos casos, también se refirieron a un libro XV. Sin embargo, la gran mayoría de las ediciones modernas concuerdan en que son trece libros los que componen la obra.

– Oye, pero, ¿quién te entiende? Supuestamente, si el libro es tan importante, pues deberíamos saber todo de este tipo y de su obra.

– Mira, se sabe muy poco de él, pero es muy interesante. Por ejemplo, se dice que vivió y enseñó matemáticas en Alejandría, aproximadamente alrededor del año 300 antes de Cristo. Alejandría fue una ciudad fundada por Alejandro Magno (El Grande) alrededor del año 320 antes de Cristo. Así que Euclides y sus amigos la estaban estrenando. ¿Te imaginas que se ha de sentir que tú inaugures una ciudad? Pero, de regreso al tema, Alejandro, que debió haber sido muy inteligente, fundó este centro para que fuera el lugar de residencia de los intelectuales de aquella época. La ciudad tuvo un faro – ya que era un puerto y los barcos necesitaban saber dónde estaba la costa- pero también tenía un museo, un zoológico y una biblioteca. Ésta última fue legendaria, ya que se supone que contenía copias de la mayoría de las obras filosóficas-científicas y humanísticas conocidas en aquella época. Tal vez te preguntes, ¿de dónde sacó Alejandro la idea de fundar una urbe académica? Siendo un guerrero, lo lógico hubiera sido construir una ciudad fortificada o un centro comercial. Pero, ¿a qué no adivinas quién fue el maestro de Alejandro?

Imágenes 11 y 12. Alejandro Magno (-356 – -323) conquistó la mayor parte del territorio geográfico conocido en su época. Fue discípulo de Aristóteles, cuyas obras moldearon la cultura occidental por siglos. Las enseñanzas de su maestro pudieron haber influido en Alejandro para que éste fundara la ciudad de Alejandría en –332. Esta localidad se convertiría en el centro cultural del mundo helénico. La ciudad albergó tres famosas construcciones: el faro, el museo y la biblioteca. Muchos mitos y leyendas se han divulgado en torno a esta última. Mucho se ha especulado acerca de la posible cantidad de pergaminos que fueron saqueados, quemados y destruidos cuando ésta fue derruida. Supuestamente, aunque Euclides no era originario de ella, pasó parte de su vida adulta en sus inmediaciones. Es posible conjeturar que haya sido ahí donde realizó su obra matemática.

– No, ni idea.

– Pues, Aristóteles, uno de los personajes más inteligentes e influyentes en toda la historia. ¿Sabías que hubo una época muy larga en la historia de la Humanidad que los que estudiaban tenían que aprenderse todas sus obras de memoria?

– En la torre. Yo no puedo ni con las reglas de ortografía.

– Sus ideas sobre lógica dominaron el pensamiento occidental hasta bien entrado el siglo XIX. Esto quiere decir que Aristóteles fue el sabelotodo durante más de dos mil años. Impresionante, ¿no crees?

– Oye, no tenía ni idea.

– ¿Sabes algo más?

– No.

– Aristóteles pudo haber sido maestro de Euclides, pero es casi imposible asegurarlo.

– Pero, ¿de qué nos sirve saber que Aristóteles pudo haber sido el maestro de Euclides?

– No, pues es importantísimo. Ya ves que casi no conocemos los datos biográficos o personales de Euclides. Eso, sin embargo, no es tan fundamental, pues nos podríamos quedar a nivel de anecdotario o chisme. Pero, tampoco sabemos quiénes fueron sus profes y a quiénes leyó mientras se formaba y estudiaba. Eso es muy valioso pues nos podría decir quiénes pudieron haber influido en él y de quiénes tomó ideas o conceptos. Pero, Euclides tampoco comentó sobre esto.

– Oye, pues está en chino. Casi no sabemos nada de y sobre él. Y yo creo que entre más pasa el tiempo, menos oportunidades tenemos de saber, pues los documentos se pueden perder con el paso del tiempo.

– Sí, eso puede pasar. El otro día leí en el periódico que se habían quemado los archivos de un pueblo y que ahí estaban las actas de nacimiento de todos sus habitantes. Te aseguro que, si todos fueran honestos, no habría problema para recuperar algunos de los datos; pero, ¿te imaginas cómo le tendrían que hacer las autoridades para recuperar los informes de los que ya murieron y que vivieron hace muchos años? En los terremotos e inundaciones también se destruyen muchos edificios.

– ¿Y qué me dices de las guerras? Ahora que invadieron Irak, vi una foto en el periódico de cómo había quedado la biblioteca central. Ahí guardaban muchos documentos históricos y no quedó nada. Los vándalos, con la complacencia del ejército invasor, lo que no se pudieron llevar, lo destruyeron.

Imagen 14. Aristóteles (-384 – -322)

– Sí, yo también vi esa foto. Que brutos ¿no? Pero, también me acuerdo, por el otro lado, de que una vez mi papá me platicó que, con el paso del tiempo, conocemos mejor nuestro pasado. Me dijo que así como se destruyen documentos, también aparecen otros que se creían perdidos o que ni siquiera se sabía que existían; y me mencionó un libro, creo que se llama El Método de otro matemático griego. Éste lo encontraron después de más de dos mil años. Di

ce mi papá que lo acaban de vender en una subasta y que alguien dio más de un millón de dólares por él. ¿Te imaginas? De seguro has visto alguno de esos programas en la tele dónde discuten el origen del hombre. Sucede lo mismo. También se descubren nuevos huesos viejos que les dicen a los científicos cómo era antes el hombre. Si tienen suerte, y el hueso es importante, ellos pueden saber, entre otras cosas, si esa persona ya caminaba erguida, o si ya comía carne.

Imagen 15. Arquímedes, autor de El Método, de acuerdo a un grabado que se conserva en la Biblioteca Nacional de Francia, fue el más creativo y original de los matemáticos de la antigüedad.

– Sí, yo también los he visto. Pero, ¿no te parece un poco exagerado? Encuentran un diente y ya saben cómo era el animal completo.

– Sí, parece excesivo. Pero también debes de tomar en cuenta que ya son muchos los años acumulados de investigación científica y que muchas personas, con muy diferentes especialidades, trabajan en los mismos proyectos. Como te comenté antes, ahora no únicamente se tienen proyectos y empresas entre diversos individuos de una misma institución, sino que ahora colaboran entre dependencias de muy diversos países. Suena muy padre. Pero, de regreso con el tema del libro, para tratar de entenderlo ahora lo estudian, entre otros, pedagogos, matemáticos, filósofos, filólogos, antropólogos, lingüistas y cada quien aporta algo.

– Oye, pero ya no te entiendo. Hace rato me decías que el libro trataba la geometría plana, incluso te referiste a las fórmulas de las áreas de los triángulos y cuadrados. Eso no tiene nada de difícil. Un niño de segundo año de primaria ya conoce la fórmula del área del rectángulo y no decimos que es un genio.

– Bueno, exageré en un par de ocasiones; o, mejor dicho, y, aquí, ya parezco académica, no fui tan precisa. En realidad el libro no únicamente trata de geometría; algunos de los capítulos también tratan de aritmética.

– Pero, si la aritmética también es muy fácil.

– Digamos que en este libro no se trata de estudiar las tablas de multiplicar. Aquí no vienen problemas concretos o particulares. Se trata de una aritmética más teórica.

– ¡Oh! La cosa ya cambia.

– Y también exageré en lo relacionado con el contenido geométrico. Al final se estudian cosas un poquito más complejas. Para terminar, el libro te enseña cómo se construyen los cinco sólidos geométricos.

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Imagen 16. Los Cinco Sólidos Geométricos Regulares

– Y esos, ¿qué son?

– ¿Ya no te acuerdas? Hermanito, se te olvida todo. Acuérdate que el otro día que veíamos el programa Cosmos … .

– ¿Cuál?

– El que habla sobre las estrellas y el universo.

– ¡Ah! Ya me acordé.

Bueno, ¿te acuerdas que chistoso estuvo ese capítulo donde un astrónomo, hace muchos años, había perdido la nariz y se había puesto una hoja de metal para taparse el hoyo?

– Claro. Parecía fenómeno y se ve que era muy parrandero.

– Pues acuérdate de que ese le dejó todas sus notas a otro astrónomo que se llamaba Kepler y que éste fue quien dijo que los planetas se movían en órbitas elípticas alrededor del sol. Antes pensaban que las órbitas eran circulares. Acuérdate que Kepler asociaba las trayectorias de los planetas con los cinco sólidos geométricos.

Johannes Kepler Kopie eines verlorengegangenen Originals von 1610

Johannes Kepler

– Oye, que bruto soy. Ese programa lo vimos hace un par de semanas y ya se me había olvidado casi todo. Ahora me acuerdo que el maestro después nos explicó que podemos pensar en una gran cantidad de objetos sólidos que tengan formas geométricas como lados (por ejemplo, triángulos, cuadrados, pentágonos, entre otros), pero que sólo existen cinco que todas sus caras son iguales; y mencionó al cubo que tiene seis caras y que todas son cuadrados exactamente iguales. Pero, ¿cómo sabes tanto sobre este libro?

– Como parte de mis estudios en física, en la facultad llevé un curso de historia de las matemáticas.

– Oye, los de esa facultad deben de estar muy locos. ¿Qué le estudias a la historia de las matemáticas? ¿Quién inventó las tablas de multiplicar? o ¿quién inventó la fórmula del área del círculo? ¿Te acuerdas de los viejitos que te había dicho hace rato que se encuentran en los sótanos de las bibliotecas? Bueno, pues estos historiadores deben estar un piso más abajo.

– Otro día, con calma, te explico. Pero, ya no me interrumpas tanto porque nunca vamos a terminar.

– Órale, ya te enojaste otra vez.

– Ya van a llegar mis papás a cenar y aún no me has dejado decirte lo más importante de la tarea.

– Pues, ¿qué puede seguir?

– ¡Oooh! Te digo que ya no me interrumpas.

– Está bien.

– No hay bronca, ya casi acabo. Finalmente, aun más importante que aprenderte todas las fórmulas matemáticas que aparecen a lo largo del libro, lo fundamental es comprender el método que utiliza Euclides. El libro te enseña a pensar, por eso es que ha tenido tanto influencia en otras épocas y en otras disciplinas.

– ¿Cómo está eso de que te enseña a pensar? Yo supongo que todos aprendemos a pensar cuando somos chiquitos, poco a poco, sin que nos demos cuenta. Estudiar como razonar no debe ser como dominar una bicicleta o unos patines. Estas actividades las puedes asimilar en un día. Incluso, yo he visto como muchos papás les enseñan a sus hijos a andar en bici. En la mayoría de los casos, los niños aprenden a no caerse y, obviamente, después tienen que practicar para adquirir más confianza y mejorar día a día. Los papás los adiestran en un día y después el niño únicamente practica para mejorar. Pero yo nunca he visto a mis papás enseñándonos a pensar.

– Tú no te das cuenta. Pero, claro que ellos quieren que aprendas. Acuérdate que continuamente insisten en que consideres las consecuencias de lo que haces. Por ejemplo, cuando sacas malas calificaciones, inmediatamente te dicen que así no vas a poder entrar a la universidad.

– Tienes razón.

– Pero, ¿sabes qué fue lo más chistoso? Este libro me ha servido para ganarle discusiones a papá.

¿Cómo es eso?

– ¿Te acuerdas cómo se pone papá cada vez que le pedimos un permiso para quedarnos a dormir en casa de amigos?

– ¡Como loco!

– Pero, ¿qué no te has dado cuenta que ahora ya me puedo quedar a dormir en casa de mis compañeras?

– Sí es cierto, ¿cómo le haces?

― En lugar de enfrentarme a él o de exigirle el permiso, porque yo ya sabía cuál iba a ser el desenlace, desde días antes, lo empecé a preparar. Un día en la mañana, mientras desayunábamos, le comenté de un accidente de tránsito que había sucedido la madrugada anterior porque un tipo se había pasado un alto. Al otro día, le pregunté si ya había leído el periódico y le platiqué que se habían robado varios autos de un restaurante que tiene servicio de estacionamiento. Otro día le dije de la cantidad de individuos que, en altas horas de la noche, manejan borrachos. Bueno, pues cuando llegó el viernes, le informé a mi papá que tenía una fiesta, también le recordé de todos los sucesos que habían ocurrido en las noches entre semana, y entonces le pregunté qué si no consideraba que sería más seguro y prudente que ya no saliera de casa de mi amiga a medianoche y que me quedara a dormir ahí y regresar a casa a la mañana siguiente, con luz de día.

– Y, ¿qué dijo  papá?

– Pues no le quedó más remedio que estar de acuerdo conmigo. Claro que ya sabes cómo son los papás. Siempre quieren imponer su autoridad. Sí me dio el permiso, pero me dijo que le tenía que prometer que ya no iba a salir de casa de mi amiga y que ahí me iba a quedar la noche y me echó todo un discurso de que confiaba en mí y tenía que demostrar que, ahora que ya era universitaria, ya había madurado y no haría tonterías. Yo estaba de acuerdo. ¿Qué te pareció mi negociación? Más vale un mal acuerdo que un buen pleito.

– Oye, pero, ¿aprendiste a negociar en este libro? ¿No que era de mate?

– Obviamente, Euclides no se pone a enseñarte cómo ganar discusiones u obtener permisos. Pero el libro te enseña a pensar. Euclides no lo dice de manera explícita; pero te enseña a razonar, al menos, a través de una forma de argumentar a lo largo del libro.

– No entiendo. ¿Cómo le hace?

Los Elementos de Euclides es un excelente ejemplo de un método de razonamiento que, en lógica, se llama deducción. En este caso, tú obtienes una conclusión – en mi caso, el permiso- de afirmaciones o conocimiento que ya sabías con anterioridad y que ya no puedes negar o contradecir. Por eso,  preparé a mi papá durante la semana. Le fui diciendo cosas en las que los dos estábamos de acuerdo, que ninguno de los dos podía negar, y después le presenté a papá otra afirmación que se deducía o que se derivaba de las anteriores. De tal forma, que él ya no la pudo contradecir porque ya había aceptado con anterioridad los otros argumentos. Claro que papá se pudo haber montado en su macho y no dar su brazo a torcer, pero también él nos ha enseñado que en caso de una discusión o de una argumentación, tenemos que aceptar cuando hemos perdido y admitir el punto de vista del contrario. Nada más que en este caso el que tenía que reconocer que había perdido era él.

– Pues, buena onda papá, ¿no crees?

– La verdad que sí. Yo sí he visto otros papás que no aceptan razonar con sus hijos. Oye, y ¿cuál crees que es la ironía de todo esto? Pues que Euclides era el padre de todos los pensadores. Tendría que ser súper buena onda y aceptar que todos podemos razonar, aunque él no estuviera de acuerdo con nuestras ideas. El libro no tiene prefacio ni introducción; sino que empieza con una lista de definiciones, donde nos dice qué es un círculo o un triángulo o un cuadrado. También presenta una lista de cinco principios matemáticos que él considera son tan obvios que nadie los discutiría o pondría en duda. Por ejemplo, uno de esos principios es que «todos los ángulos rectos son iguales entre sí». ¿Quién te va discutir eso, no? Finalmente, añade otra pequeña lista de otros principios que son básicos en cualquier disciplina, no únicamente en matemáticas. Por ejemplo, que «el todo es mayor que cualquiera de sus partes» ¿Quién te va a discutir esto? Bueno, pues a partir de esos principios, Euclides va a deducir la mayor parte de lo que se sabía, hasta ese entonces, de aritmética y geometría. Va a ir cosa por cosa, concluyendo a partir de lo que ya conoce, pero jamás podrá usar algo que no esté contenido previamente en su libro. ¿Te imaginas? Tendría que haber sido muy listo. Acuérdate que el libro tiene trece capítulos donde demuestra casi quinientos argumentos, y nunca se ve obligado a introducir algo que él previamente no hubiera probado con anterioridad.

– Cuidado, ya cállate, ya llegaron los jefes. Ya sabes, si preguntan si ya hice la tarea, les decimos que sí y que incluso investigué en libros. Oye, por último, después me explicas qué es eso de demostrar.

– Sale.

ACTIVIDADES  PEDAGÓGICAS

Lectura  de  Comprensión.

Discutir con los estudiantes las siguientes cuestiones.
¿Qué es un clásico?
¿Qué libros has leído que se consideren clásicos?
¿En qué época vivió  Euclides?
¿Cuántos capítulos o libros tienen los Elementos?
Redacción (describe en un párrafo de mínimo 20 y máximo 25 renglones):
Discute qué entiendes por la palabra elementos.
¿Cuál podría ser un clásico de fútbol y por qué?
¿Cuál es la importancia de leer el libro de los Elementos?
¿Cómo te imaginas la vida social en aquella época?
¿Qué quiere decir la palabra deducir?

Investigación

Además de la edición de la UNAM, ¿existen otras ediciones de los Elementos en español?
¿Qué quiere decir el vocablo ‘inferir’?
¿Qué otras obras compuso Euclides?
Busca en un diccionario el significado de la palabra cantidad. No copies la definición, pero explícala con tus propias palabras. Incluye un par de ejemplos.
Investiga si el año 1543 tiene algún significado especial.

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